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Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 8 | 2 | 0 ) , B ( 8 | 3 | 2 ) , C ( 8 | - 3 | 2 ) , und D ( 8 | - 2 | 0 ) sowie der Punkt B ( 0 | 3 | 2 ) gegeben.
Die Punkte A , B und B spannen eine Ebene E auf. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis: E : 2 x 2 - x 3 - 4 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



Gegeben sind die Punkte A ( 8 | 2 | 0 ) , B ( 8 | 3 | 2 ) und B ( 0 | 3 | 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
Der Ortsvektor der Ebene E ist O A = ( 8 2 0 )

Die Richtungsvektoren der Ebene E sind A B und A B

A B = O B - O A = ( 8 3 2 ) - ( 8 2 0 ) = ( 0 1 2 ) a

A B = O B - O A = ( 0 3 2 ) - ( 8 2 0 ) = ( - 8 1 2 ) b

E A B B : x = ( 8 2 0 ) + α ( 0 1 2 ) + β ( - 8 1 2 )
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene E :

n E = a × b = ( 0 1 2 ) × ( - 8 1 2 ) =
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 0 2 - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
Normalenform der Ebene E :

E N : x n E = x ( 0 2 - 1 ) = ( 8 2 0 ) ( 0 2 - 1 ) 2 x 2 - x 3 - 4 = 0

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