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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 2d  (4 BE)
Ein Schüler führt 100 Freiwürfe aus, um seine Trefferwahrscheinlichkeit p zu bestimmen. Als Ergebnis möchte er ein Intervall angeben, in dem p mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegt.
Zeigen Sie, dass die Länge dieses Intervalls nicht kleiner als   1 5   gewählt werden kann, wenn diese mit der Ungleichung von Tschebyschow abgeschätzt wird.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2d

Tschebyschow Ungleichung



Gegeben sind: n =100, Sicherheitswahrscheinlichkeit   P s = 0 , 75 , Δ = 1 5

Zu Zeigen ist:   Δ 1 5

Sei   [ p ε ; p + ε ] , ε > 0   das Intervall mit   Δ = 2 ε

Nach Tschebyschow gilt:   P ( | x 100 p | ε ) relaitve Häufigkeit 1 p q n ε 2 p bekannt max ( p q ) = 1 4 1 1 4 n ε 2 p unbekannt

Es soll gelten:   P ( | x 100 | ε ) P s

1 1 4 100 ε 2 0 , 75 0 , 25 1 400 ε 2 ε 2 1 400 0 , 25 ε 0 , 1

x 100 [ p 1 10 ; p + 1 10 ] Δ = 2 1 10 = 1 5

Da   ε 0 , 1   ist   Δ 1 5

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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