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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (4 BE)
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von   f k   und geben Sie die Wertemenge an.
[mögliches Zwischenergebnis:  f k ( x ) = k 2 e k x ( 1 + e k x ) 2  ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Monotonieverhalten einer Funktion



Die erste Ableitung bilden:
f k ( x ) = k 1 + e k x = k ( 1 + e k x ) 1
f k ( x ) = ( k ( 1 + e k x ) 1 ) =
Schritt einblenden / ausblenden
= k ( 1 + e k x ) 2 ( k ) e k x = k 2 e k x ( 1 + e k x ) 2
Welches Vorzeichen hat die erste Ableitung?
Schritt einblenden / ausblenden
f k ( x ) = k 2 e k x > 0 ( 1 + e k x ) 2 > 0   für alle   x D k
Da die Funktion   f k   keine Pole besitzt und der Definitionsbereich keine Lücken hat, ist  f k   stetig.

f k  ist streng monoton steigend.
Wertebereich bestimmen



Die streng monoton steigende Funktion   f k   nähert sich für  x   an 0 und für  x +   an k.

W f k = ] 0 ; k [

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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