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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Stochastik III


 
Teilaufgabe 1  (8 BE)
Ein in die Jahre gekommenes Fotokopiergerät liefert brauchbare und unbrauchbare Kopien. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kopie unbrauchbar ist, beträgt 15 % (Ausschussquote). Das Fertigen von Kopien soll als Bernoulli-Kette angesehen werden.
Es werden 20 Kopien gefertigt. Ermitteln Sie für jedes der drei angegebenen Ereignisse die Wahrscheinlichkeit.
  • A: Es sind mehr als drei Viertel der Kopien brauchbar.
  • B: Es ist genau eine Kopie unbrauchbar und diese befindet sich unter den letzten fünf.
  • C: Von den Kopien sind genau drei unbrauchbar und diese folgen unmittelbar hintereinander.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1

Binomialverteilung



Ereignis A: Es sind mehr als   3 4   der Kopien brauchbar.

20 Kopien:   n = 20

brauchbare Kopien:   p = 0 , 85

mehr als   3 4   brauchbar:   z > 15   bzw.   z 16
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P 0 , 85 20 ( z 16 ) = 1 P 0 , 85 20 ( z 15 ) = T a f e l w e r k 1 0 , 17015 = 83 %
Ereignis B: 1 unbrauchbare Kopie unter den letzten 5

erste 15 Kopien brauchbar:   z = 15 , p = 0 , 85 , n = 15

1 unbrauchbare Kopie unter letzten 5:   z = 1 , q = 0 , 15 , n = 5
P ( B ) = P 0 , 85 15 ( z = 15 ) P 0 , 15 5 ( z = 1 ) = P 0 , 85 5 ( z = 4 ) = T a f e l w e r k 0 , 08735 0 , 39150 = 3 , 4 %
Ereignis C: 3 unbrauchbare Kopien unmittelbar hintereinander.

Es gibt 18 mögliche "Platzierungen" der 3 unbrauchbaren Kopien
(an den Stellen 1 2 3, 2 3 4, 3 4 5,..., 18 19 20 )

P ( C ) = ( 0 , 15 3 0 , 85 17 ) 18 = 0 , 38 %

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