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Abitur 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar
mit a, ∈ R gegeben. Die Punkte A(10|0|0), B(0|5|0) und C(0|0|5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.
mit a, ∈ R gegeben. Die Punkte A(10|0|0), B(0|5|0) und C(0|0|5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.
Teilaufgabe 1a (3 BE)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis E: ]
[mögliches Ergebnis E: ]
Teilaufgabe 1b (3 BE)
Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene E.
Teilaufgabe 1c (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Gerade in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.
Teilaufgabe 2a (5 BE)
Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts .
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 2b (4 BE)
Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck den Flächeninhalt 75 hat.
Teilaufgabe 2c (6 BE)
Die Gerade schneidet die Strecke [AC] im Punkt A'(8|0|1) und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.
In der Ebene liegen zwei parallele Schienen und . Die Schiene wird durch die Gerade mit τ ∈ R dargestellt. Auf den Schienen und ruht eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(18|28|5) und dem Radius r=3.
Teilaufgabe 3a (6 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene berührt.
[Ergebnis: S(20|27|3)]
[Ergebnis: S(20|27|3)]
Teilaufgabe 3b (5 BE)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene .
Teilaufgabe 3c (4 BE)
Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.
Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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