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Lösung Abitur Bayern 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 3c  (9 BE)
Bestätigen Sie, dass   S ( 1 | 4 3 )   ein weiterer Schnittpunkt von   G f   und   G p   ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des in Abb. 2 schraffierten Flächenstücks, das von   G f  ,   G p   und der x-Achse begrenzt wird.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3c

Schnittpunkt zweier Funktionen



  S ( 1 | 4 3 )  

  p ( x )   =   - 1 6 x 2   +   3 2  

  f ( x )   =   - 1 6   +   1 , 5 x 2  
  p ( 1 )   =   - 1 6   +   3 2   =   - 1   +   9 6   =   4 3  

  f ( 1 )   =   - 1 6   +   1 , 5 1   =   - 1 6   +   3 2   =   - 1   +   9 6   =   4 3  


→ Da die Funktionswerte für p und f an der Stelle x = 1 übereinstimmen, schneiden sich die beiden Funktionen im Punkt   S ( 1 | 4 3 )  .
Flächenberechnung





schraffierte Fläche = 2 ·   0 1 p ( x ) dx   +   2 ·   1 3 f ( x ) dx  
  0 1 p ( x ) dx   =   0 1 ( - 1 6 x 2   +   3 2 ) dx   =   [ - 1 6 · x 3 3   +   3 2 x ] 0 1   =   - 1 18   +   3 2   =   13 9  

  1 3 f ( x ) dx   =   1 3 ( - 1 6   +   3 2 x 2 ) dx   =   [ - 1 6 x   -   3 2 x ] 1 3   =   - 1 6 · 3   -   3 2 · 3   + 1 6 +   3 2   =   2 3  
Schritt einblenden / ausblenden
schraffierte Fläche = 2 · ( 13 9   +   2 3 )   =   2 ·   19 9   =   38 9   =   4 2   9 FE  

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