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Abitur 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Im Eingangsbereich eines Unternehmens soll das Firmenlogo im Boden eingelassen werden. Abb. 1 zeigt den Entwurf des Architekten nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems:

Im Quadrat ABCD schneiden vier kongruente parabelförmige Bögen die in Abb. 1 schraffierte Figur aus. Die untere Parabel   G p   ist der Graph der quadratischen Funktion p mit   D p   =   R  .   G p   schneidet die x-Achse in den Punkten A(-3|0) und B(3|0). Die Diagonalen des Quadrats sind zugleich Tangenten an die Parabeln in den Punkten A und C bzw. B und D.
Teilaufgabe 1a  (6 BE)

Geben Sie die Werte der Ableitung von p in den beiden Nullstellen an und bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion p.
[Zur Kontrolle:   p ( x )   =   - 1 6 x 2   +   1 , 5  ]

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Figur, wenn die Seitenlänge des Quadrats ABCD in der Eingangshalle 6m beträgt.

Die Graphen der linken, rechten und oberen Parabel in Abb. 1 gehen aus   G p    durch Spiegelung und Verschiebung hervor. Daher können die zugehörigen Funktionsterme aus dem Funktionsterm von p entwickelt werden.
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Erklären Sie zunächst allgemein, wie die Graphen zu den Zuordnungsvorschriften   x   ↦   p ( x )   +   a   bzw.   x   ↦   p ( x   +   b )   mit   a ,   b   ∈   R +   durch Verschiebung aus   G p   entstehen.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass zum Graphen   G o   der oberen Parabel in Abb.1 die Zuordnungsvorschrift   x   ↦   - p ( x )   +   6   gehört.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

p ist in [0; +∞[ umkehrbar. Ergänzen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion   p - 1   in Abb.1.
Kennzeichnen Sie in Abb. 1 den Teil der Umrandung der schraffierten Figur, zu dem die Zuordnungsvorschrift   x   ↦   - p - 1 ( x   +   3 )   +   3   gehört.

Betrachtet wird nun die Funktion   f :   x   ↦   f ( x )   =   p ( x ) x 2   =   - 1 6   +   1 , 5 x 2    mit     D f   =   R \ { 0 }   (mit p aus Aufgabe 1). Der Graph   G f   der Funktion f ist zusammen mit   G p   in Abb. 2 dargestellt. Gemäß der Definition von f stimmen die Nullstellen von f mit den Nullstellen von p überein.
Teilaufgabe 3a  (2 BE)

Weisen Sie nach, dass   G f   achsensymmetrisch ist und untersuchen Sie das Verhalten von   G f   für x → +∞.

Teilaufgabe 3b  (6 BE)

Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten an   G f   in den beiden Nullstellen.

Teilaufgabe 3c  (9 BE)

Bestätigen Sie, dass   S ( 1 | 4 3 )   ein weiterer Schnittpunkt von   G f   und   G p   ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des in Abb. 2 schraffierten Flächenstücks, das von   G f  ,   G p   und der x-Achse begrenzt wird.

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