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Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 3a  (7 BE)
In einem Urlaubsland werden erste Fälle einer gefährlichen Infektionskrankheit festgestellt, während sich ein Flugzeug mit 120 Reisenden von dort auf dem Heimflug befindet.
Es wird angenommen, dass sich die Passagiere unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p mit dem Erreger der Krankheit infiziert haben. (Eine gegenseitige Ansteckung während des Flugs wird ausgeschlossen.)
Berechnen Sie mit Mitteln der Differentialrechnung, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 120 Reisenden genau 3 infiziert sind, maximal annehmen kann.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3a

Binomialverteilung



  f ( p )   =   P p 120 ( z   =   3 )   =   ( 120 3 ) =   280840   ·   p 3 ·   ( 1 - p ) 117  
1. Ableitung:

  f ' ( p )   =   280840   ·   [ 3 p 2 ·   ( 1 - p ) 117   +   p 3 ·   117   · ( 1 - p ) 116 ·   ( - 1 ) ]  

  f ' ( p )   =   280840   ·   [ 3 p 2 ·   ( 1 - p ) 117   -   p 3 ·   117 ·   ( 1 - p ) 116 ]  

  f ' ( p )   =   280840   ·   3 p 2 ·   ( 1 - p ) 116   [ 1   -   p -   39 p ]  

  f ' ( p )   =   280840   ·   3 p 2 ·   ( 1 - p ) 116   [ 1   -   40 p ]  
  f ' ( p )   =   0  

  p 1   =   0   (nicht sinnvoll)

  p 2   =   1   (nicht sinnvoll)

  p 3   =   1 40   =   2 , 5 %  
  f ' ( p ) > 0         für         p <   1 40  

  f ' ( p ) < 0         für         p   >   1 40  

Vorzeichenwechsel von + auf -, also Maximum bei    p   =   1 40  

Der maximale Wert wird also für p = 1 40 angenommen und ist gleich:

f ( 1 40 ) = P 1 40 120 ( z = 3 ) = ( 120 3 ) ( 1 40 ) 3 ( 39 40 ) 117 22 , 7 %

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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