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Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (5 BE)
Zeigen Sie, dass gilt:   f k ' ( x )   =   2 x ( 1   -   kx 2 ) 2  .
Begründen Sie, dass alle Graphen   G k   einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen



  f k ( x )   =   x 2 1   -   kx 2  
Schritt einblenden / ausblenden
  f k ' ( x )   =   2 x · ( 1   -   kx 2 )   -   x 2 · ( - 2 kx ) ( 1   -   kx 2 ) 2  

  f k ' ( x )   =   2 x · ( 1   -   kx 2   +   kx 2 ) ( 1   -   kx 2 ) 2  

  f k ' ( x )   =   2 x ( 1   -   kx 2 ) 2  
Art von Extrempunkten ermitteln



Für ein Extremum gilt   f ' ( x )   =   0  .

  2 x ( 1   -   kx 2 ) 2   =   0         2 x   =   0         x   =   0  

Alle Funktionen   f k   haben an der Stelle x = 0 einen Extremwert.
  f k ' ( x )   =   2 x ( 1   -   kx 2 ) 2  

für x < 0     f ' ( x )   <   0  

für x > 0     f ' ( x )   >   0  

     Min bei x = 0, da Vorzeichenwechsel von - auf + bei erster Ableitung

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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