Abitur 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II Aufgabe 1b

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Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

f_{k}^{'} (x) = \frac{2 x}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

.
Begründen Sie, dass alle Graphen

G_{k}

einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

f_{k} (x) = \frac{x^{2}}{1 - {kx}^{2}}

Quotientenregel der Differenzialrechnung

Die erste Ableitung für

f (x) = \frac{x^{2}}{1 - {kx}^{2}}

ermittelt man mit Hilfe der Quotientenregel.

Quotientenregel:

f = \frac{u}{v}

f^{'} = \frac{u^{'} · v - u · v^{'}}{v^{2}}

Hier:

u = x^{2} \Rightarrow u^{'} = 2 x

v = 1 - {kx}^{2} \Rightarrow v^{'} = - 2 kx

f^{'} (x) = \frac{2 x · (1 - {kx}^{2}) - x^{2} · (- 2 kx)}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

{f_{k}}^{'} (x) = \frac{2 x · (1 - {kx}^{2}) - x^{2} · (- 2 kx)}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

{f_{k}}^{'} (x) = \frac{2 x · (1 - {kx}^{2} + {kx}^{2})}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

{f_{k}}^{'} (x) = \frac{2 x}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

Art von Extrempunkten ermitteln

Für ein Extremum gilt

f^{'} (x) = 0

\frac{2 x}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}} = 0 \Rightarrow 2 x = 0 \Rightarrow x = 0

Alle Funktionen

f_{k}

haben an der Stelle x = 0 einen Extremwert.

{f_{k}}^{'} (x) = \frac{2 x}{{(1 - {kx}^{2})}^{2}}

für x < 0

\Rightarrow f^{'} (x) < 0

für x > 0

\Rightarrow f^{'} (x) > 0

\Rightarrow

Min bei x = 0, da Vorzeichenwechsel von - auf + bei erster Ableitung

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Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

Art von Extrempunkten ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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