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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik IV


 
Teilaufgabe 1b  (4 BE)
Begründen Sie, dass die Stabdiagramme der Binomialverteilungen mit p = 0,5 achsensymmetrisch sind. Geben Sie die Symmetrieachse an.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Binomialverteilung




Zeichnung: achsensymmetrisches Stabdiagramm
Schritt einblenden / ausblenden
P p n ( Z = k ) = ! P p n ( Z = n - k )

linke Seite der Gleichung:

P p n ( Z = k )

= ( n k ) · 0 , 5 k · 0 , 5 n - k

= ( n k ) · 0 , 5 k + n - k

= ( n k ) · 0 , 5 n

rechte Seite der Gleichung:

P p n ( Z = n - k )

= ( n n - k ) · 0 , 5 n - k · 0 , 5 n - ( n - k )
Schritt einblenden / ausblenden
= n ! ( n - k ) ! · ( n - ( n - k ) ) ! · 0 , 5 n

= n ! ( n - k ) ! · k ! · 0 , 5 n

= ( n k ) · 0 , 5 n

Beide Seiten der Gleichung liefern den gleichen Term. Also ist die Behauptung wahr.

Das Symmetriezentum ist der Erwartungswert E.

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt:

E = n · p = μ

p = 0 , 5 μ = n 2 .

Das Stabdiagramm einer Binomialverteilung mit p = 0,5 ist achsensymmetrisch zu k = n 2 .

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