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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1c  (5 BE)
Zeigen Sie, dass G k genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lage von Extrempunkten ermitteln



Erste Ableitung Null setzen:

0 = f k ′ ( x ) = 1 4 ( k - 2 - x ) e x ︸ > 0 ⇔ k - 2 - x = 0

⇒ x E = k - 2

⇒ y E = f k ( x E ) = f k ( k - 2 ) = 1 2 ( k - ( k - 2 ) ) e k - 2 = e k - 2

G k besitzt ein Extrempunkt E ( k - 2 | e k - 2 )

Art von Extrempunkten ermitteln



Nachprüfen der Art des Extrempunktes mit Einsetzen von x E in die zweite Ableitung:

f k ′ ′ ( x E ) = f k ′ ′ ( k - 2 ) = 1 8 ( k - 4 - ( k - 2 ) ) e k - 2 = - 1 4 e k - 2 ︸ > 0 < 0

⇒ E ( k - 2 | e k - 2 ) ist Hochpunkt
Wendepunkt ermitteln



Zweite Ableitung Null setzen:

0 = f k ′ ′ ( x ) = 1 8 ( k - 4 - x ) e x ︸ > 0 ⇔ k - 4 - x = 0

⇒ x W = k - 4

⇒ y W = f k ( x W ) = f k ( k - 4 ) = 1 2 ( k - ( k - 4 ) ) e k - 4 = 2 e k - 4

Nachprüfen ob es sich tatsächlich um ein Wendepunkt handelt durch Einsetzen von x W in die dritte Ableitung:

f k ′ ′ ′ ( x W ) = f k ′ ′ ′ ( k - 4 ) = 1 16 ( k - 6 - ( k - 4 ) ) e k - 4 = - 1 8 e k - 4 ︸ > 0 < 0

⇒ W ( k - 4 | 2 e k - 4 ) ist Wendepunkt von G k

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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