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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 2a  (8 BE)
Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion h : x 1 f ( x ) mit D h = . Ihr Graph wird mit G h bezeichnet.
Geben Sie die Wertemenge von h an und bestimmen Sie die Schnittpunkte von G f und G h .
Zeichnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen G h im Bereich - 1 , 5 x 1 , 5 in das obige Koordinatensystem ein.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Wertebereich bestimmen



Der höchste Punkt von f ( x ) ist sein Maximum E ( 0 | e ) , d.h. der kleinste Wert den die Funktion h ( x ) annimmt ist:

h ( x E ) = 1 e 1 - 0 2 = 1 e

Da f ( x ) gegen 0 geht für x ± , folgt dass h ( x ) gegen + geht für x ±

W h = [ 1 e , + [ Wertebereich von h ( x )
Schnittpunkt zweier Funktionen



Die Funktionen gleich setzen:

f ( x ) = h ( x ) 1 e 1 - x 2 = e 1 - x 2 e - ( 1 - x 2 ) = e 1 - x 2

Da die Basis ( e ) gleich ist, müssen die Exponenten gleich sein:

- ( 1 - x 2 ) = 1 - x 2 - 1 + x 2 = 1 - x 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x 1 , 2 S = ± 1

y 1 , 2 S = f ( x 1 , 2 S ) = h ( x 1 , 2 S ) = e 1 - ( ± 1 ) 2 = e 0 = 1

S 1 ( 1 | 1 ) und S 2 ( - 1 | 1 ) sind Schnittpunkte von f und h
Skizze




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