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Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (11 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von . Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von und geben Sie die Lage des Wendepunktes an.              [zur Kontrolle: ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln



f a ( x ) = e x ( x - a )

Erste Ableitung bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
f a ( x ) = e x ( x - a ) + e x 1

f a ( x ) = e x ( x - a + 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: f a ( x ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
e x > 0 ( x - a + 1 ) = 0

x - a + 1 = 0

x E = a - 1 (mögliche Extremstelle)

y E = f a ( a - 1 ) = e a - 1 ( a - 1 - a ) = - e a - 1

E ( a - 1 | - e a - 1 ) (möglicher Extrempunkt)
Art von Extrempunkten ermitteln



Zweite Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f a ( x ) = e x ( x - a + 1 ) + e x 1

f a ( x ) = e x ( x - a + 2 )


Prüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt:
Schritt einblenden / ausblenden
f a ( a - 1 ) = e a - 1 ( a - 1 - a + 2 ) = e a - 1 > 0 für alle a
Schritt einblenden / ausblenden
E ( a - 1 | - e a - 1 ) ist Minimum
Krümmungsverhalten einer Funktion



Krümmungsverhalten:
Schritt einblenden / ausblenden

         
         
         
konvexe Krümmung



konkave Krümmung        
Wendepunkt ermitteln



Wendepunkt:
Schritt einblenden / ausblenden
Schritt einblenden / ausblenden


          
          
Der Wendepunkt ist .

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