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Lösung Abitur Bayern 2002 Mathematik GK Analytische Geometrie V
Teilaufgabe 2c (5 BE)
Das Quadrat ASCS' bildet die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze B. Berechnen Sie den Winkel, den die Kanten [AB] und [SB] einschließen, und begründen Sie damit, dass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind.
Lösung zu Teilaufgabe 2c
Winkel zwischen zwei Vektoren
Zeichnung: Pyramide B
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Das Dreieck ABS ist also ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge und einem Winkel von .
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks
Weil das Quadrat eine Seitenlänge von hat, folgt daraus, dass die Grundseiten aller anderen Dreiecke ebenfalls eine Länge von aufweisen.
ABC und sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. M ist der Diagonalenschnittpunkt und Höhenfußpunkt. Daher ist die Pyramide regelmäßig und somit alle Seitenflächen gleichschenklig.
Aus der Symmetrie der Anordnung und der Tatsache, dass der Winkel zwischen und beträgt, folgt, dass bei allen Seitenflächen ein Winkel von an der Pyramidenspitze vorliegt. Gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von zwischen den Schenkeln sind gleichseitig.
ABC und sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. M ist der Diagonalenschnittpunkt und Höhenfußpunkt. Daher ist die Pyramide regelmäßig und somit alle Seitenflächen gleichschenklig.
Aus der Symmetrie der Anordnung und der Tatsache, dass der Winkel zwischen und beträgt, folgt, dass bei allen Seitenflächen ein Winkel von an der Pyramidenspitze vorliegt. Gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von zwischen den Schenkeln sind gleichseitig.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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