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Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (10 BE)
Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . Ermitteln Sie Lage und Art des Extrempunkts sowie die Lage des Wendepunkts von G f .
[zur Kontrolle:   f ' ( x ) = e - 0 , 5 x ( 4 - 2 x ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln



f ( x )   =   4 x   ·   e - x 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ( x )   =   4 [ e - x 2   +   x   ·   e - x 2 · ( - 1 2 ) ]
f ' ( x )   =   4 e - x 2   - 2 x   ·   e - x 2
f ' ( x )   =   ( 4 -   2 x ) ·   e - x 2
f ' ( x )   =   ( 4   -   2 x ) ·   e - x 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ' ( x )   =   - 2 ·   e - x 2   +   ( 4   -   2 x ) ·   e - x 2 · ( - 1 2 )
f ' ' ( x )   =   ( x   -   4 ) ·   e - x 2
Monotonieverhalten einer Funktion



f '   >   0
Schritt einblenden / ausblenden
( 4 - 2 x ) e x 2 > 0  für jedes  x > 0

4   -   2 x   >   0
4                     >   2 x
2                     >   x
streng monoton wachsend für x < 2
f '   <   0
Schritt einblenden / ausblenden
( 4 - 2 x ) e x 2 > 0  für jedes  x < 0

4   -   2 x   <   0
4                     <   2 x
2                     <   x
streng monoton fallend für x > 2
Art von Extrempunkten ermitteln



Es existiert ein Vorzeichenwechsel von + nach - in der ersten Ableitung.

 es existiert ein Maximum bei x = 2

  HP ( 2   |   8 e )
Krümmungsverhalten einer Funktion



f ' '   >   0
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 4 ) e x 2 > 0  für jedes  x > 0

x   -   4   >   0
x                 >   4
 konkav für x > 4
f ' '   <   0
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 4 ) e x 2 > 0  für jedes  x < 0

x   -   4   <   0
x                 <   4
 konvex für x < 4
Wendepunkt ermitteln



Es existiert ein Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung.

 es existiert ein Wendepunkt bei x = 4

  WP ( 4   |   16 e 2 )

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