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Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (10 BE)
Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . Ermitteln Sie Lage und Art des Extrempunkts sowie die Lage des Wendepunkts von G f .
[zur Kontrolle:   f ' ⁢ ( x ) = e - 0 , 5 ⁢ x ⁢ ( 4 - 2 ⁢ x ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Erste und zweite Ableitung einer Funktion ermitteln



f ⁢ ( x )   =   4 ⁢ x   ·   e - x 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ⁢ ( x )   =   4 [ e - x 2   +   x   ·   e - x 2 · ( - 1 2 ) ]
f ' ⁢ ( x )   =   4 ⁢ e - x 2   - 2 ⁢ x   ·   e - x 2
f ' ⁢ ( x )   =   ( 4 -   2 ⁢ x ) ·   e - x 2
f ' ⁢ ( x )   =   ( 4   -   2 ⁢ x ) ·   e - x 2
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ' ⁢ ( x )   =   - 2 ·   e - x 2   +   ( 4   -   2 ⁢ x ) ·   e - x 2 · ( - 1 2 )
f ' ' ⁢ ( x )   =   ( x   -   4 ) ·   e - x 2
Monotonieverhalten einer Funktion



f '   >   0
Schritt einblenden / ausblenden
( 4 - 2 x ) ⋅ e x 2 ︸ > 0  für jedes  x > 0

4   -   2 ⁢ x   >   0
4                     >   2 ⁢ x
2                     >   x
streng monoton wachsend für x < 2
f '   <   0
Schritt einblenden / ausblenden
( 4 - 2 x ) ⋅ e x 2 ︸ > 0  für jedes  x < 0

4   -   2 ⁢ x   <   0
4                     <   2 ⁢ x
2                     <   x
streng monoton fallend für x > 2
Art von Extrempunkten ermitteln



Es existiert ein Vorzeichenwechsel von + nach - in der ersten Ableitung.

⇒  es existiert ein Maximum bei x = 2

⇒   ⁢ HP ⁢ ( 2   |   8 e )
Krümmungsverhalten einer Funktion



f ' '   >   0
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 4 ) ⋅ e x 2 ︸ > 0  für jedes  x > 0

x   -   4   >   0
x                 >   4
⇒  konkav für x > 4
f ' '   <   0
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 4 ) ⋅ e x 2 ︸ > 0  für jedes  x < 0

x   -   4   <   0
x                 <   4
⇒  konvex für x < 4
Wendepunkt ermitteln



Es existiert ein Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung.

⇒  es existiert ein Wendepunkt bei x = 4

⇒   ⁢ WP ⁢ ( 4   |   16 e 2 )

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