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Lösung Abitur Bayern 2000 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 1c  (10 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts.
Untersuchen Sie G f  auf Wendepunkte.
             [zur Kontrolle: f ' ( x ) = 4 · x + 1 ( x + 2 ) 3 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lage von Extrempunkten ermitteln



Extrempunkt:
Schritt einblenden / ausblenden
erste Ableitung:
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ( x ) = 2 x · ( x + 2 ) 2 - ( x 2 - 2 ) · 2 ( x + 2 ) · 1 ( x + 2 ) 4

= 2 · ( x + 2 ) ( x · ( x + 2 ) - ( x 2 - 2 ) ) ( x + 2 ) 4

= 2 · ( 2 x + 2 ) ( x + 2 ) 3

= 4 · x + 1 ( x + 2 ) 3
zweite Ableitung:
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ' ( x ) = 4 · 1 · ( x + 2 ) 3 - ( x + 1 ) · 3 ( x + 2 ) 2 · 1 ( x + 2 ) 6

= 4 · ( x + 2 ) 2 ( ( x + 2 ) - 3 ( x + 1 ) ) ( x + 2 ) 6

= 4 · - 2 x - 1 ( x + 2 ) 4

= - 4 · 2 x + 1 ( x + 2 ) 4
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ( x E ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
Wendepunkt ermitteln



Wendepunkt:
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ' ( x W ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
2 x W + 1 = 0

x W = - 1 2

Bestimmung der y-Koordinate:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( - 1 2 ) = 1 4 - 2 ( - 1 2 + 2 ) 2

= - 7 4 9 4 = - 7 9

Ein möglicher Wendepunkt ist W ( - 1 2 | - 7 9 ) .

Überprüfung durch Vorzeichenwechsel in f ' ' :

f ' ' ( - 1 2 ± ϵ ) = - 4 · 2 · ( - 1 2 ± ϵ ) + 1 ( - 1 2 ± ϵ + 2 ) 4

= 8 ϵ ( 3 2 ± ϵ ) 4

f ' ' hat einen Vorzeichenwechsel "von + auf -" bei x = x W .
Also ist W ein Wendepunkt und die Krümmung von G f  wechselt von konkav auf konvex.
Art von Extrempunkten ermitteln



Art des Extremums:
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ' ( x E ) = - 4 · 2 · - 1 + 1 ( - 1 + 2 ) 4

= 4 1 = 4

Die zweite Ableitung ist positiv an der Stelle x = x E . Es handelt sich also um ein Minimum.

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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