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Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung II
Teilaufgabe 1  (5 BE)

Geben Sie für die Funktionen mit den folgenden Termen jeweils die maximale Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

f 1 ( x ) = 1 x - 1 , f 2 ( x ) = x - 1 , f 3 ( x ) = ln ( x - 1 )

Teilaufgabe 2  (5 BE)

Es gibt genau eine Tangente an den Graphen der Funktion f : x ↦ x 2 , D f = R , deren Neigungswinkel gegen die x -Achse 135 ∘ beträgt. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente.

Der Graph einer auf R definierten, integrierbaren Funktion f sei punktsymmetrisch zum Ursprung.
Teilaufgabe 3a  (3 BE)

Begründen Sie allgemein, dass dann für alle a > 0 gilt: ∫ - a a f ( x ) d x = 0 .

Teilaufgabe 3b  (4 BE)

Wählen Sie selbst eine Funktion f , deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, und bestätigen Sie für dieses f die Aussage aus Teilaufgabe 3a, indem Sie das Integral für die gewählte Funktion f mithilfe einer Stammfunktion berechnen.

Teilaufgabe 4  (3 BE)

Welcher der angegebenen Terme nähert die Funktion f : x ↦ 1 x + x + 1 für große Werte von x am besten? Machen Sie Ihre Antwort plausibel.

(i) 1 x (ii) x (iii) x + 1 (iv) 1 x + 1 (v) 1 x + x

Die Funktion f : t ↦ 3 ( 1 - e - t ) - t wird im Definitionsbereich D f = R 0 + betrachtet. Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 5a  (10 BE)

Bestimmen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von D f .
Zeigen Sie, dass G f genau einen Hochpunkt besitzt, und berechnen Sie dessen Koordinaten.
Berechnen Sie f ( 3 ) und skizzieren Sie G f mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse.

[Zur Kontrolle: Hochpunkt an der Stelle t = ln 3 ]


Teilaufgabe 5b  (3 BE)

Im Intervall [ 2 ; 3 ] besitzt f genau eine Nullstelle a . Führen Sie mit dem Startwert 3 den ersten Schritt des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Berechnung von a durch.
Man erhält dadurch a auf zwei Dezimalen genau.

[Ergebnis: a ≈ 2 , 82 ]


Teilaufgabe 5c  (5 BE)

Berechnen Sie mithilfe des Näherungswerts aus Teilaufgabe 5b den Inhalt des Flächenstücks, das G f im I. Quadranten mit der t -Achse einschließt.

Teilaufgabe 5d  (5 BE)

Betrachtet wird die Funktion F : x ↦ ∫ a x f ( t ) d t , D F = D f .
Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von F in der Nähe des Punktes N ( a | F ( a ) ) . Begründen Sie Ihre Ausführungen.
Welche Bedeutung hat das Ergebnis der Teilaufgabe 5c für die Funktion F ?

Jeder Körper sendet elektromagnetische Strahlung unterschiedlicher Frequenzen aus. Die Intensität der Strahlung hängt von der Frequenz der Strahlung ab. Im Idealfall gilt nach Max Planck für diese Intensität bei einem Körper der Temperatur T :

I T ( x ) = x 3 e x T - 1 , D I T = R + .

Dabei entspricht x bis auf eine Konstante der Frequenz der Strahlung und der Parameter T (Temperatur in Kelvin) ist positiv.
Die Graphik zeigt die zu drei Werten des Parameters T gehörenden Graphen von I T .
Jede Scharfunktion I T hat genau eine Maximalstelle x m a x .



In den folgenden Teilaufgaben kann ohne Einheiten gerechnet werden.
Teilaufgabe 6a  (3 BE)

Weisen Sie am Funktionsterm nach, dass I T ( x ) stets positiv ist.

Teilaufgabe 6b  (6 BE)

Weisen Sie nach, dass für die erste Ableitung der Funktion I T gilt:

I T ′ ( x ) = x 2 e x T [ 3 ( 1 - e - x T ) - x T ] ( e x T - 1 ) 2

Vergleichen Sie diesen Term mit dem der Funktion f aus Aufgabe 5 und zeigen Sie, dass für die Maximalstelle x m a x von I T gilt: x m a x T = a , wobei a die positive Nullstelle von f ist.

Teilaufgabe 6c  (5 BE)

Unsere Sonne liefert maximale Intensität für x m a x = 17 ⋅ 10 3 (gelbgrüner Farbbereich). Welche Oberflächentemperatur ergibt sich hieraus für die Sonne?
Ordnen Sie die gezeichneten Graphen der Funktionsschar I T den Temperaturen T 1 = 4000 Kelvin, T 2 = 6000 Kelvin und T 3 = 8000 Kelvin zu. Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 6d  (3 BE)

Ein Körper der Temperatur T liefert für x m a x die Intensität I T ( x m a x ) . Begründen Sie, dass sich I T ( x m a x ) verachtfacht, wenn ein Körper mit doppelt so hoher Temperatur betrachtet wird.

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