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Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I
Teilaufgabe 1  (3 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x ↦ ( e x - 2 ) ⋅ ( x 3 - 2 x ) mit Definitionsbereich R .

Teilaufgabe 2  (6 BE)

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ ln x x - 2 mit maximalem Definitionsbereich D f .
Geben Sie D f an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1 .

Teilaufgabe 3  (3 BE)

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f an, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:
  • Der Graph von f berührt an der Stelle x = 1 die x -Achse.

  • f hat x = 3 als Polstelle.

Teilaufgabe 4  (3 BE)

Bestimmen Sie den Term einer Stammfunktion der Funktion f : x ↦ ln ( 2 x ) , D f = R + .

Teilaufgabe 5  (5 BE)

Für x ≥ 1 sind die Funktionen mit den folgenden Termen gegeben:
f ( x ) = x - a , g ( x ) = ln x , h ( x ) = - 1 x + b mit a , b ∈ ℕ

Ordnen Sie die Funktionen den nachfolgenden Graphen zu und bestimmen Sie die Parameter a und b . Erklären Sie Ihr Vorgehen.


Gegeben ist die Funktion f : x ↦ - 1 2 x 2 + 2 mit D f = R .
Teilaufgabe 6a  (2 BE)

Zeichnen Sie den Graphen G f in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe 6b  (6 BE)

Dem Flächenstück, das G f mit der x -Achse einschließt, werden Rechtecke so einbeschrieben, dass jeweils eine Rechteckseite auf der x -Achse liegt. Berechnen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt A eines solchen Rechtecks.
[Ergebnis: A = 16 9 3 ]

Teilaufgabe 6c  (5 BE)

Berechnen Sie, wie viel Prozent des Flächenstücks, das G f mit der x -Achse einschließt, vom Rechteck maximalen Flächeninhalts aus Teilaufgabe 6b bedeckt werden.

Gegeben sind die Funktionen g : x ↦ e - 1 4 x , D g = ℝ , und h : x ↦ e - 1 4 x ⋅ cos x , D h = ℝ . Der Graph von h ist für x ≥ 0 im nachfolgenden Diagramm dargestellt.

Teilaufgabe 7a  (8 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von g und geben Sie das Verhalten von g für x → + ∞ und x → - ∞ an.
Berechnen Sie die Funktionswerte g ( 0 ) , g ( π ) , g ( 2 π ) , g ( 3 π ) , und g ( 4 π ) und zeichnen Sie damit die Graphen von g und von - g in obiges Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 7b  (3 BE)

Die Funktion h entsteht aus der Kosinusfunktion x ↦ cos x , D = R , durch Multiplikation mit der Funktion g . Beschreiben Sie, inwiefern sich der Graph von h aufgrund dieser Multiplikation vom Graph der Kosinusfunktion unterscheidet. Gehen Sie dabei auch auf die Nullstellen von h und die Funktionswerte h ( n π ) , n ∈ N ein.

Teilaufgabe 7c  (6 BE)

Berechnen Sie den Term h ′ ( x ) der ersten Ableitung von h und weisen Sie nach, dass für Extremstellen von h gilt: tan x = - 0 , 25 . Zeigen Sie damit, dass die Extremstellen von h gegenüber den Extremstellen der Kosinusfunktion verschoben sind.

Teilaufgabe 7d  (4 BE)

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen I und II wahr oder falsch sind, und machen Sie Ihre Antworten plausibel:

  1. lim x → - ∞ h ( x ) = + ∞

  2. lim x → + ∞ h ( x ) = 0


Teilaufgabe 7e  (3 BE)

Die Funktion H : x ↦ 16 17 e - 1 4 x ( sin x - 1 4 cos x ) , D H = R , ist Stammfunktion von h .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass ∫ 0 2 π h ( x ) d x positiv ist, und deuten Sie diesen Zusammenhang am Graph von h .

Teilaufgabe 7f  (3 BE)

Es gibt Werte a > 0 , für die ∫ 0 a h ( x ) d x negativ ist. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Wahl ohne Rechnung.

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