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Abitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge 6 gegeben. Die Eckpunkte G 1 ( 0 | 0 | 0 ) und D 3 ( 6 | 6 | 6 ) legen eine Raumdiagonale fest.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene E , die durch die Punkte D 1 , G 2 und D 3 verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene E mit dem Würfel W ein.
[mögliches Ergebnis: E : x 1 - x 2 + x 3 = 6 ]

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide, die E vom Würfel W abschneidet.
Wieviel Prozent des Würfelvolumens nimmt die Pyramide ein?

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die Grundfläche G 1 G 2 G 3 G 4 .
Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels W an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45 ∘ -Winkel einschließt.

Teilaufgabe 1d  (3 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebene F mit der Gleichung F : x 1 - x 2 + x 3 = 3 parallel zu E mit Abstand 3 ist.

Teilaufgabe 1e  (10 BE)

Die Ebene F schneidet den Würfel W in einem regulären Sechseck.
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene F mit der x 1 - und der x 3 -Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke [ G 2 G 3 ] auf F liegt.
Zeichnen Sie alle sechs Schnittpunkte der Ebene F mit Kanten des Würfels sowie den Rand der sechseckigen Schnittfigur ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des betrachteten Sechsecks.

Teilaufgabe 1f  (4 BE)

Alle Ebenen parallel zu F werden durch Gleichungen der Form x 1 - x 2 + x 3 = a mit a ∈ R beschrieben.
Geben Sie an, welche Arten von Figuren als Schnitt einer solchen Ebene mit dem Würfel W auftreten. Geben Sie die Menge aller Werte von a an, für die die Schnittfigur ein Sechseck ist.

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