Abitur 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I Aufgabe 1a

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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_{k} : \mapsto x - \ln \frac{x}{k}

mit

k \in R^{+}

und Definitionsmenge

D = R^{+}

. Der Graph von

f_{k}

wird mit

G_{k}

bezeichnet.

Untersuchen Sie das Verhalten von

f_{k}

für

x \to 0

und für

x \to \infty

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{k} (x) = x - \ln \frac{x}{k}

k \in R^{+}

D = R^{+}

Grenzwert gegen

0^{+}

lim_{x \to 0^{+}} f_{k} (x) = lim_{x \to 0^{+}} (\underset{\to 0^{+}}{\underset{︸}{x}} - \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{\ln \overset{\to 0^{+}}{\overset{︷}{\frac{x}{k}}}}}) = \infty

Grenzwert gegen

\infty

Steigung der Logarithmusfunktion

Der Ausdruck "

\infty - \infty

" (Unendlich minus Unendlich) ist in der Regel nicht bestimmbar.

In diesem Fall kann jedoch folgendermaßen argumentiert werden:
Die Steigung der Geraden

y = x

ist konstant gleich

1

. Die Steigung der Logarithmusfunktion

g (x) = \ln \frac{x}{k}

ist monoton fallend, denn

lim_{x \to \infty} g^{'} (x) = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

. Die Gerade

y = x

"gewinnt" über die Logarithmusfunktion und die Differenz ihrer Funktionswerte wird immer größer für

x

gegen Unendlich.

lim_{x \to \infty} f_{k} (x) = lim_{x \to \infty} (\underset{\to \infty}{\underset{︸}{x}} - \underset{\to \infty}{\underset{︸}{\ln \frac{x}{k}}}) = \infty

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Alternative Rechnungswege für den Grenzwert

x \to \infty

:

Umstellen der Funktionsgleichung:

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmus eines Quotienten:

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

Logarithmusfunktion ist Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

x = \ln e^{x}

f_{k} (x) = x - \ln \frac{x}{k} = \ln e^{x} - \ln \frac{x}{k} = - (\ln \frac{x}{k} - \ln e^{x}) = - \ln \frac{x}{k e^{x}}

Grenzwert

Aus der Formelsammlung:

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

lim_{x \to \infty} f_{k} (x) = lim_{x \to \infty} - \underset{\to - \infty}{\underset{︸}{\ln \underset{\to 0}{\underset{︸}{(\frac{x}{k e^{x}})}}}} = \infty

Berechnung des Grenzwertes mit L'Hospital:

f_{k} (x) = x - \ln \frac{x}{k} = \ln e^{x} - \ln \frac{x}{k} = \ln \frac{k \cdot e^{x}}{x}

lim_{x \to \infty} f_{k} (x) = lim_{x \to \infty} \ln \frac{\overset{\to \infty}{\overset{︷}{k \cdot e^{x}}}}{\underset{\to \infty}{\underset{︸}{x}}}

L’Hospitalsche Regel

Liegt bei

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)}

ein "unbestimmter Ausdruck" der Form "

\frac{0}{0}

" oder "

\frac{\infty}{\infty}

" vor, dann besagt die Regel von l'Hospital:

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

(Zähler und Nenner werden einzeln abgeleitet)

= lim_{x \to \infty} \underset{\to \infty}{\underset{︸}{\ln \frac{\overset{\to \infty}{\overset{︷}{e^{x}}}}{1}}} = \infty

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

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Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

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Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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