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Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ 1 - x 1 + x mit dem Definitionsbereich D f = R ∖ { - 1 } . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G f an.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Die Terme der gebrochen-rationalen Funktionen g und h haben den gleichen Zähler wie f ( x ) , aber jeweils einen anderen Nenner. Geben Sie je einen möglichen Funktionsterm für g und h an, so dass im jeweils maximalen Definitionsbereich gilt:
  • Der Graph von g hat keine senkrechte Asymptote.
  • Die Funktion h hat an der Stelle x - 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Geben Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f an und untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G f .

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Berechnen Sie f ( 3 ) , f ( - 2 ) und f ( - 5 ) . Zeichnen Sie G f sowie die Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 3  (4 BE)

Die Funktion f ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie den Term der Umkehrfunktion von f . Was lässt sich aus dem Ergebnis hinsichtlich der Symmetrie von G f folgern?

Teilaufgabe 4a  (3 BE)

Bestätigen Sie, dass die Funktion F : x ↦ - x + 2 ln ( x + 1 ) für x ∈ ] - 1 ; + ∞ [ eine Stammfunktion von f ist.

Teilaufgabe 4b  (5 BE)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass G f im I. Quadranten den Viertelkreis um den Koordinatenursprung mit Radius 1 in zwei etwa inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.

Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 3 können im Folgenden verwendet werden.
Eine Kugel A der Masse 1 kg bewegt sich nach rechts und stößt mit der Geschwindigkeit 1 m s elastisch und zentral auf eine gleich große ruhende Kugel B .



Die Maßzahl der Geschwindigkeit der Kugel A in m s unmittelbar nach dem Zusammenstoß wird durch die Funktion v : m ↦ 1 - m 1 + m mit m ∈ R + beschrieben, wobei m für die Maßzahl der Masse der Kugel B in kg steht. Zu einer Bewegung nach rechts gehören positive Geschwindigkeiten, zu einer Bewegung nach links negative Geschwindigkeiten.
Teilaufgabe 5a  (5 BE)

Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit sich Kugel A unmittelbar nach dem Stoß bewegt, wenn die Masse der Kugel B 0,6 kg beträgt.
Geben Sie die Grenzwerte der Funktion v für m → 0 sowie m → + ∞ an und machen Sie für diese beiden Grenzfälle jeweils den Bewegungsablauf der Kugel A im Sachzusammenhang plausibel.

Teilaufgabe 5b  (5 BE)

Ermitteln Sie, für welche Werte von m sich Kugel A unmittelbar nach dem Stoß nach rechts bewegt.
Berechnen Sie, für welchen Wert von m sich die Kugel A unmittelbar nach dem Stoß mit 0 , 9 m s nach links bewegt.

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