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Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist für k ∈ R + die Schar von Funktionen f k : x ↦ 1 - 2 k e x + k mit dem maximalen Definitionsbereich D k . Der Graph von f k wird mit G k bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Geben Sie den Definitionsbereich D k an. Bestimmen Sie das Verhalten von f k für x → - ∞ und für x → + ∞ und geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G k an.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von G k .

[zur Kontrolle: f k ′ ( x ) = 2 k e x ( e x + k ) 2 ]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Zeigen Sie, dass G k die x -Achse nur im Punkt S k ( ln k | 0 ) schneidet.
Die Tangente an G k im Punkt S k wird mit t k bezeichnet. Begründen Sie, dass alle Tangenten t k parallel zueinander sind.

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen G 1 und G 8 nicht schneiden.

Teilaufgabe 1e  (6 BE)

Berechnen Sie f 1 ( - 1 ) , f 1 ( 1 ) , f 8 ( 3 ) . Zeichnen Sie die Graphen G 1 und G 8 , deren Asymptoten sowie die Tangenten t 1 und t 8 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 1f  (3 BE)

Begründen Sie, dass durch jeden Punkt der x -Achse ein Graph G k verläuft.

Teilaufgabe 1g  (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion F k : x ↦ 2 ⋅ ln ( e x + k ) - x mit x ∈ D k eine Stammfunktion von f k ist.

Teilaufgabe 1h  (5 BE)

G 8 und die Koordinatenachsen begrenzen im IV. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.

Teilaufgabe 2  (4 BE)

Lässt man für den Parameter k auch negative Werte zu, so unterscheiden sich die Graphen G k mit k ∈ R - von den Graphen G k mit k ∈ R + . Geben Sie zwei grundsätzliche Unterschiede an und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

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