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Abitur 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte A ( 7 | 5 | 1 ) , B ( 2 | - 5 | 6 ) und die Gerade g : x → = O A → + λ ⋅ ( 1 2 0 ) , λ ∈ R , gegeben.
Teilaufgabe 1a  (2 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt B nicht auf der Geraden g liegt.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Die Ebene E enthält den Punkt B und die Gerade g . Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Ebene E ?
[mögliches Ergebnis: 2 x 1 - x 2 - 9 = 0 ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Der Punkt C ist Fußpunkt des Lotes vom Punkt B auf die Gerade g . Berechnen Sie die Koordinaten von C .
[Ergebnis: C ( 2 | - 5 | 1 ) ]

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

M ist der Mittelpunkt der Strecke [ A B ] . K ist die Kugel mit Mittelpunkt M und Radius 1 2 A B ¯ . Begründen Sie, dass die Gerade g die Kugel K in den Punkten A und C schneidet.

Durch Verschiebung der Punkte A , B und C um den Vektor ( - 4 2 0 ) entstehen die Punkte A ′ , B ′ und C ′ . Verbindet man die entsprechenden Eckpunkte der Dreiecke A B C und A ′ B ′ C ′ , so entsteht das Prisma A B C A ′ B ′ C ′
Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A ′ und zeichnen Sie das Prisma A B C A ′ B ′ C ′ in ein Koordinatensystem ein. (vgl. Skizze; Platzbedarf: ganze Seite; Ursprung in Blattmitte) [Ergebnis: A ′ ( 3 | 7 | 1 ) ]


Teilaufgabe 2b  (7 BE)

Zeigen Sie, dass der Verschiebungsvektor A A ′ zur Grundfläche A B C senkrecht steht, und bestimmen Sie das Volumen des Prismas.

Teilaufgabe 2c  (6 BE)

Das Rechteck A A ′ B ′ B ist eine Seitenfläche des Prismas. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich im Punkt N . Begründen Sie, dass alle Ecken des Prismas auf einer Kugel um N liegen.

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Geben Sie zwei Punkte an, die zusammen mit C eine Ebene festlegen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile teilt. Begründen Sie Ihre Antwort.

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