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Abitur 2009 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Schar der Funktionen f k : x ↦ x k + x 2 mit k ∈ R + und der Definitionsmenge R . Der Graph von f k wird mit G k bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Untersuchen Sie G k auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f k für x → - ∞ und x → + ∞ an.

Teilaufgabe 1b  (7 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G k . Die Hochpunkte von G k bilden den Graphen einer Funktion h . Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h .
[Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G k für k = 0 , 25 und k = 1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.

Teilaufgabe 1e  (7 BE)

Für jedes k begrenzt G k mit der x -Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
Für beliebige positive k 1 , k 2 ( k 1 ≠ k 2 ) begrenzen G k 1 und G k 2 im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

Teilaufgabe 2  (5 BE)

Nun wird die Schar der Funktionen f k : x ↦ x k + x 2 für k ∈ R 0 - betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D k von f k in Abhängigkeit von k an.
Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f k an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 3a  (4 BE)

Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten ( 0 | 0 ) , ( 0 | r ) und ( r | 0 ) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion f 1 : x ↦ r 2 - x 2 mit - r ≤ x ≤ r ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f 2 und f 3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f 2 und f 3 an.


Teilaufgabe 3b  (6 BE)

Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h . Zeigen Sie mit Hilfe der
Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: V = π ( r h 2 - 1 3 h 3 )

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