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Abitur 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 die Punkte A ( 5 | 1 | 0 ) und B ( 1 | 5 | 2 ) , die Gerade g : x → = ( - 8 - 1 5 ) + λ ⋅ ( 7 2 1 ) , λ ∈ R , sowie die Ebenenschar
E k : k x 1 + x 2 + k x 3 - 11 = 0 , k ∈ R .
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Es gibt eine Gerade h , die in allen Ebenen der Schar E k enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h in Parameterform.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Weisen Sie nach, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zur Geraden g ist. In welcher Lagebeziehung stehen folglich g und h ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E 2 liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E 2 mit der Geraden g .
[Zur Kontrolle: C ( - 1 | 1 | 6 ) ]

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Weisen Sie nach, dass das Dreieck A B C gleichschenklig rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts D so, dass das Viereck A B C D ein Quadrat ist.

Das Quadrat A B C D als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt S als Spitze eine vierseitige Pyramide A B C D S . Der Punkt S liegt dabei auf der Geraden g und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt F der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats.
Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte F und S .
[Zur Kontrolle: S ( 6 | 3 | 7 ) ]

Teilaufgabe 2d  (6 BE)

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche.

Teilaufgabe 2e  (7 BE)

K sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide A B C D S liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M und den Radius r der Kugel K und zeigen Sie, dass M im Inneren der Pyramide liegt.

Teilaufgabe 2f  (4 BE)

Betrachtet werden nun eine gerade Pyramide mit dem Quadrat A B C D als Grundfläche und der Höhe h ′ > 0 sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyramide. Für welche Werte von h ′ liegt der Mittelpunkt dieser Kugel außerhalb der Pyramide?

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