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Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 2 | 0 | 1 ) , B ( 2 | - 2 | 0 , 5 ) und C ( 0 | - 4 | 1 ) sowie die Ebene F : x 1 + x 2 + 2 x 3 - 4 = 0
gegeben.
Teilaufgabe 1a  (6 BE)

A , B und C legen die Ebene E fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform sowie in Normalenform.

[mögliches Teilergebnis: E : 2 x 1 - x 2 + 4 x 3 - 8 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Bestätigen Sie, dass die Gerade s : x → = ( 4 0 0 ) + σ ⋅ ( - 2 0 1 ) mit σ ∈ R die Schnittgerade der Ebenen E und F ist, und begründen Sie, dass s in der x 1 x 3 -Koordinatenebene liegt.

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Punkte R ( 4 | 0 | 0 ) und S ( 0 | 0 | 2 ) auf der Geraden s liegen und dass die Punkte T ( 0 | - 8 | 0 ) beziehungsweise U ( 0 | 4 | 0 ) die Schnittpunkte der Ebene E beziehungsweise der Ebene F mit der x 2 -Achse sind.

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Zeichnen Sie die Punkte R , S , T und U sowie die Gerade s in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein und veranschaulichen Sie die Lage der Ebenen E und F durch Einzeichnen ihrer Spurgeraden.

In einem Geländemodell liegen die Hänge eines Bergrückens in den Ebenen E und F . Der Grat dieses Bergrückens wird von einem Teil der Geraden s gebildet. Die x 1 -Achse zeigt in Südrichtung, die x 2 -Achse in Ostrichtung. Vom Punkt B aus wird horizontal ein Tunnel in Ostrichtung durch den Berg bis zur Ebene F gebohrt.
Teilaufgabe 2a  (7 BE)

Berechnen Sie die Länge des Tunnels im Geländemodell.

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Vom Punkt P ( 2 | p 2 | p 3 ) der Geraden T R soll in der Ebene E eine geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang B angelegt werden.
Berechnen Sie die Koordinaten von P und begründen Sie, dass diese Zufahrt zum Tunneleingang B bergauf und genau von Westen nach Osten verläuft.

Teilaufgabe 2c  (7 BE)

Berechnen Sie für diese Zufahrtsstraße von P nach B den Neigungswinkel α gegen die Horizontale. Beschreiben Sie mit kurzer Begründung, in welchem Punkt L der Strecke [ T R ] die steilstmögliche geradlinige Zufahrtsstraße zum Tunneleingang B beginnen würde.

(Hinweis: Die Koordinaten von L müssen nicht berechnet werden.)

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