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Abitur 2009 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte A ( - 3 | 4 | 0 ) und C ( - 2 | 1 | 2 ) gegeben.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Die Punkte O , A und C legen die Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform.
[Zur Kontrolle: E : 8 x 1 + 6 x 2 + 5 x 3 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (3 BE)

Z sei der Mittelpunkt der Strecke [ A C ] . Durch Spiegelung des Ursprungs O an Z entsteht der Punkt B . Berechnen Sie die Koordinaten von B .
[Ergebnis: B ( - 5 | 5 | 2 ) ]

Teilaufgabe 1c  (6 BE)

Berechnen Sie den Innenwinkel φ des Vierecks O A B C bei O und begründen Sie, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist. Zeichnen Sie das Parallelogramm in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze; Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: - 1 ≤ x 3 ≤ 11 ).

Teilaufgabe 1d  (7 BE)

Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g = O A auf. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat g ? Das Lot vom Punkt C auf die Gerade g schneidet g im Punkt F . Berechnen Sie die Koordinaten von F . Zeichnen Sie das Lot in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.
[Teilergebnis: F ( - 1 , 2 | 1 , 6 | 0 ) ]

Teilaufgabe 1e  (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms O A B C 5 5 beträgt.

Das Parallelogramm O A B C aus Aufgabe 1 sei nun die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide, deren Spitze S auf der positiven x 3 -Achse liegt.
Teilaufgabe 2a  (8 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S so, dass die Pyramide O A B C S den Rauminhalt 50 3 besitzt. Zeichnen Sie die Pyramide in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1c ein.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Die Pyramide rotiert nun um ihre Kante O S . Der Eckpunkt B bewegt sich dabei auf einem Kreis. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M dieses Kreises an und berechnen Sie seinen Radius r .

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Begründen Sie, dass der Punkt C im Inneren des in Teilaufgabe 2b beschriebenen Rotationskörpers liegt.


 
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