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Abitur 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 sind die Punkte M ( - 2 | 4 | 1 ) , S ( 6 | 8 | 9 ) , P ( 4 | - 8 | 1 ) sowie die Gerade g : x → = ( 0 0 1 ) + λ ⋅ ( - 1 0 1 ) , λ ∈ R , gegeben.
Die Strecke [ M S ] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius 6 5 und liegt in der Ebene E .
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.

[Zur Kontrolle: E : 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 - 2 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (7 BE)

Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k . (Der Punkt mit positiver x 1 -Koordinate wird mit R bezeichnet.)

[Teilergebnis: R ( 8 | 0 | - 7 ) , T ( - 10 | 0 | 11 ) ]

Teilaufgabe 1c  (6 BE)

Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ , den die Vektoren P R → und P T → einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g ′ . Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g ′ mit k .

[Teilergebnis: ( - 12 | 8 | 9 ) ]

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g ′ den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden.

Teilaufgabe 2c  (7 BE)

Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus?

Teilaufgabe 3  (8 BE)

Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q ( 2 | - 20 | 9 ) verbunden. Auf der Strecke [ S Q ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B , in dem die Kugel die Ebene E berührt.

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