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Abitur 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte P ( - 8 | - 4 | 1 ) und Q ( 7 | 8 | 17 ) sowie die Gerade g : x → = O P → + λ ⋅ ( 1 0 0 ) mit λ ∈ R gegeben.
Teilaufgabe 1a  (2 BE)

Bestimmen Sie den Geradenpunkt R zum Parameterwert λ = 30 und zeigen Sie, dass Q nicht auf der Geraden liegt.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E , die den Punkt Q und die Gerade g enthält, in Normalenform. Welche besondere Lage hat diese Ebene im Koordinatensystem?

[mögliches Teilergebnis: E : 4 x 2 - 3 x 3 + 19 = 0 ]

Teilaufgabe 1c  (6 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt F ( 7 | - 4 | 1 ) Fußpunkt des Lotes von Q auf die Gerade g ist. Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes Q von der Geraden g .

[Ergebnis: d = 20 ]

Teilaufgabe 1d  (2 BE)

Der Punkt Q ′ entsteht durch Spiegelung des Punktes Q an der Geraden g . Bestimmen Sie die Koordinaten von Q ′ .

[Ergebnis: Q ′ ( 7 | - 16 | - 15 ) ]

Teilaufgabe 1e  (9 BE)

Begründen Sie, dass das Viereck Q P Q ′ R eine Raute ist, und ermitteln Sie deren Flächeninhalt. Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die die gegenseitige Lage der Geraden g und der Punkte Q , P , Q ′ , R und F veranschaulicht. Wählen Sie hierfür die Ebene E als Zeichenebene.

Teilaufgabe 1f  (8 BE)

Berechnen Sie alle Innenwinkel der Raute und den Abstand h paralleler Rautenseiten.

[Teilergebnis: h = 24 ]

In der Ebene E liegt ein Gitter mit kongruenten rautenförmigen Öffnungen. Eine dieser Rauten ist das Viereck Q P Q ′ R . Zudem ist eine Kugel mit Raudius r = 13 gegeben.
Teilaufgabe 2a  (2 BE)

Begründen Sie, dass diese Kugel nicht durch die Gitteröffnungen passt.

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Die Kugel liegt so in der Öffnung Q P Q ′ R , dass sie alle 4 Seiten dieser Raute berührt. Berechnen Sie den Abstand des Kugelmittelpunkts von der Gitterebene E .

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