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Abitur 2007 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ e x - e - x e x + e - x mit der Definitionsmenge D f = R . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (6 BE)

Untersuchen Sie f auf Nullstellen. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von G f und zeigen Sie, dass die Geraden mit den Gleichungen y = - 1 und y = 1 Asymptoten von G f sind.

Teilaufgabe 1b  (8 BE)

Zeigen Sie, dass f streng monoton zunehmend ist. Berechnen Sie f ( 1 ) sowie f ′ ( 0 ) und skizzieren Sie G f unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1c  (2 BE)

Geben Sie den Term einer Stammfunktion von f an.

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

f besitzt eine Umkehrfunktion f - 1 . Geben Sie die Definitionsmenge von f - 1 an und bestimmen Sie für f - 1 einen Funktionsterm.
(Hinweis: Erweitern Sie den Term von f mit e x .)
[mögliches Teilergebnis: f - 1 ( x ) = 1 2 ln 1 + x 1 - x ]

Die Fallgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers vor Öffnen des Schirms wird in guter Näherung beschrieben durch den Term v ( t ) = 50 ⋅ f ( 0 , 2 t ) = 50 ⋅ e 0 , 2 t - e - 0 , 2 t e 0 , 2 t + e - 0 , 2 t mit t ≥ 0 .
Dabei ist t die Maßzahl der Fallzeit in Sekunden, v ( t ) die Maßzahl der Fallgeschwindigkeit in m s und f die Funktion aus Aufgabe 1.
Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Berechnen Sie lim t → ∞ v ( t ) und deuten Sie das Ergebnis im genannten Anwendungsbezug.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Berechnen Sie auf eine Dezimale gerundet die Zeit, nach der der Springer eine Geschwindigkeit von 49 m s erreicht hat.
(Die Absprunghöhe wird als genügend groß vorausgesetzt.)

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Die Maßzahl der in der Zeit 11,5 s durchfallenen Strecke (in m) ist gegeben durch ∫ 0 11 , 5 v ( t ) d t . Berechnen Sie dieses Integral.

Gegeben ist eine auf R definierte Funktion h , deren Funktionsgleichung in der Form y = h ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) geschrieben werden kann. g ist hierbei eine Funktion, die mit ihrer zweiten Ableitung übereinstimmt, d. h. es gilt g ′ ′ ( x ) = g ( x ) für alle x ∈ R . Die Funktion f aus Aufgabe 1 ist ein Beispiel für eine derartige Funktion h .
Teilaufgabe 3a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R gilt: h ′ ( x ) = 1 - [ h ( x ) ] 2 .

Teilaufgabe 3b  (4 BE)

Folgern Sie aus der Gleichung von Teilaufgabe 3a:
Verläuft der Graph von h im Streifen - 1 < y < 1 , dann steigt er dort streng monoton.
Begründen Sie kurz, dass der Graph von h die Gerade y = 1 nicht überqueren kann.

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