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Abitur 2007 Mathematik LK Analytische Geometrie V
Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des R 3 die Ebenenschar
E k : k x 1 + k 2 x 2 + 2 x 3 - k 2 = 0 mit k ∈ R als Scharparameter.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene E k den Punkt P ( 1 | 2 | - 3 ) und zugleich den Punkt Q ( 0 | 1 | 0 ) enthält.

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Die beiden Ebenen E 2 und E - 3 schneiden sich in einer Geraden g .
Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.

[mögliches Teilergebnis: g : x → = ( 1 2 - 3 ) + λ ( 1 1 - 3 ) , λ ∈ R ]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Mit e ( k ) werde der Betrag des Abstands der Ebene E k vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass e ( k ) = k 2 k 2 + k 4 + 4 und dass e ( k ) < 1 ist.

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x 3 -Achse 30° beträgt. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k .

Teilaufgabe 1e  (3 BE)

Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar E k steht.

Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M ( 1 | 2 | 3 ) und dem Radius r = 6 gegeben. Die Scharebene E - 1 schneidet die Kugel K in einem Kreis k s mit dem Mittelpunkt N und dem Radius r s .
Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten von N und den Radius r s .

[Ergebnis: N ( 2 | 1 | 1 ) ; r s = 30 ]

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt R ( 3 | 6 | - 1 ) auf dem Schnittkreis k s liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.

[mögliches Teilergebnis: T : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 17 = 0 ]

Teilaufgabe 2c  (5 BE)

Die Ebene E - 1 und die Tangentialebenen an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k s begrenzen einen geraden Kreiskegel.
Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt U ( 3 | - 2 | - 1 ) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt.

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