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Abitur 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O die Punkte A ( 5 | 2 | 2 ) und C ( 12 | 2 | 26 ) , die Ebene E : 4 x 1 + 3 x 3 - 51 = 0 sowie die Geraden g : x → = O A → + λ ( - 3 0 4 ) und h : x → = O C → + μ ( 7 0 24 ) mit λ , μ ∈ R .
Teilaufgabe 1a  (2 BE)

Zeigen Sie, dass A Schnittpunkt der beiden Geraden g und h ist.

Teilaufgabe 1b  (8 BE)

Die Geraden g und h spannen eine Ebene F auf.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform und zeigen Sie, dass F eine Lotebene zur Ebene E ist. Welche besonderen Lagen im Koordinatensystem haben die beiden Ebenen E und F ?
[mögliches Teilergebnis: F : x 2 - 2 = 0 ]

Teilaufgabe 1c  (6 BE)

Weisen Sie nach, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft, und ermitteln Sie ihren Abstand von der Ebene E .

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Berechnen Sie den Schnittwinkel α von g und h .
Geben Sie mit Begründung die Größe des Schnittwinkels von h und E an.

Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten zweier Punkte B und B ′ auf der Geraden g so, dass die Dreiecke A B C und A C B ′ gleichschenklig mit Basis [ B C ] bzw. [ B ′ C ] sind. B sei derjenige der beiden Punkte mit positiver x 1 -Koordinate.
[Teilergebnis: B ( 20 | 2 | - 18 ) ]

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Dreieck B C B ′ rechtwinklig ist.

Teilaufgabe 2c  (3 BE)

M ist Mittelpunkt der Strecke [ B C ] .
Berechnen Sie die Koordinaten von M und begründen Sie ohne Rechnung, dass [ A M ] eine Höhe des Dreiecks A B C ist.
[Teilergebnis: M ( 16 | 2 | 4 ) ]

Teilaufgabe 2d  (7 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck A B C einen Flächeninhalt von 250 Flächeneinheiten hat, und begründen Sie, dass für jede Pyramide mit der Grundfläche A B C und der Spitze S ( s 1 | s 2 | s 3 ) mit s 2 ≠ 2 gilt: V A B C S = 250 3 ⋅ | s 2 - 2 | Volumeneinheiten.

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