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Abitur 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 8 | 2 | 0 ) , B ( 8 | 3 | 2 ) , C ( 8 | - 3 | 2 ) , und D ( 8 | - 2 | 0 ) sowie der Punkt B ′ ( 0 | 3 | 2 ) gegeben.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Die Punkte A , B und B ′ spannen eine Ebene E auf. Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis: E : 2 x 2 - x 3 - 4 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (8 BE)

Begründen Sie, dass das Viereck A B C D ein Trapez ist, und tragen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Skizze) ein.
Welche Symmetrieeigenschaft und welche besondere Lage im Koordinatensystem hat das Trapez?

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Der Punkt A ′ ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der x 2 -Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten von A ′ . Weisen Sie nach, dass das Dreieck D A A ′ rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D ′ so, dass das Viereck D A A ′ D ′ ein Rechteck ist.
[Teilergebnis: A ′ ( 0 | 2 | 0 ) ]

Teilaufgabe 1d  (3 BE)

Der Punkt C ′ entsteht durch Spiegelung des Punktes B ′ an der x 1 x 3 -Ebene. Geben Sie die Koordinaten von C ′ an und zeichnen Sie das Prisma A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ in die Zeichnung von Teilaufgabe 1b ein.

Beim Prisma A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ aus Teilaufgabe 1d handelt es sich um ein gerades Prisma (Nachweis nicht erforderlich). Dieses Prisma gibt die Form eines 16 m langen Stücks eines Kanals wieder (1 LE in der Zeichnung entspricht 2 m ).
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Berechnen Sie den Neigungswinkel α der Kanalböschung A A ′ B ′ B gegenüber der horizontalen x 1 x 2 -Ebene.

Teilaufgabe 2b  (7 BE)

Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser das 16 m lange Kanalstück enthält, wenn der Kanal bis oben gefüllt ist.
[Ergebnis: 640 m 3 ]

Teilaufgabe 2c  (8 BE)

Während einer Hitzeperiode führt das 16 m lange Kanalstück nur noch 45 % der in Teilaufgabe 2b bestimmten Wassermenge.
Weisen Sie zunächst allgemein nach, dass zwischen der Wassertiefe t des Kanals und der zugehörigen Breite b der Wasseroberfläche – jeweils gemessen in m – folgender Zusammenhang besteht: b = t + 8 m .
Berechnen Sie anschließend die Wassertiefe des Kanals in der Hitzeperiode.

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