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Abitur 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion   f : x ↦ ( x − 1 ) ⋅ ln ⁡ x   mit der Definitionsmenge   D f = R + . Der Graph von f wird mit   G f   bezeichnet.
Hinweis:   lim x → 0 + ( x n ⋅ ln ⁡ x ) = 0 , für   n ∈ N , darf ohne Beweis verwendet werden.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Geben Sie die Nullstellen von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Weisen Sie nach, dass   G f   an der Stelle   x = 1   einen Punkt mit waagrechter Tangente besitzt. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f.
[Zur Kontrolle:   f ′ ( x ) = ln ⁡ x + 1 − 1 x   ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von   G f . Berechnen Sie   f ( 3 )   und skizzieren Sie   G f   aufgrund der bisherigen Ergebnisse.

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Begründen Sie, dass f im Intervall   ] 0 ; 1 ]   umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktion g an.
Bestimmen Sie   lim x → 0 + g ′ ( x ) .

Teilaufgabe 1e  (8 BE)

G f   und die Koordinatenachsen begrenzen für   x ≤ 1   ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück den endlichen Inhalt 0,75 hat.

Aus rechteckigen Kunststoffplatten von 1 Meter Breite und 2 Meter Höhe wurden Stücke abgeschnitten, wobei die Schnittkurve   p t   Teil einer Parabel ist, die der Gleichung   y = t x 2 + 2 − t   genügt. Für den Parameter t gilt:   o < t ≤ 2 . In nebenstehender Skizze ist der Fall   t = 1 , 6   dargestellt.
Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Zeigen Sie, dass jede Schnittkurve   p t   durch den Punkt   ( 1 | 2 )   verläuft.
Beschreiben Sie die Bewegung des Parabelscheitels, wenn t bei 2 beginnend alle Werte des Intervalls   ] 0 ; 2 ]   durchläuft.

Aus der Restplatte werden Rechtecke - wie in der Skizze schraffiert dargestellt - ausgeschnitten. Je eine Seite des Rechtecks soll auf dem unteren bzw. auf dem rechten Rand der Platte zu liegen kommen, eine Ecke des Rechtecks soll auf der Schnittkurve liegen.
Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Zeigen Sie, dass für den Inhalt eines solchen Rechtecks gilt:
A t ( x ) = − t x 3 + t x 2 + ( t − 2 ) x + 2 − t ⁢                   ( 0 ≤ x ≤ 1 )

Der Inhalt   A t   des ausgeschnittenen Rechtecks soll möglichst groß sein (Extremwertproblem).
Teilaufgabe 2c  (6 BE)

Die unten stehende Abbildung zeigt einige Graphen der Scharfunktionen   A t . Beschreiben Sie, was aufgrund der Abbildung im Fall   0 < t < 1 , 5   für die Lösung des Extremwertproblems zu vermuten ist. Beweisen Sie Ihre Vermutung rechnerisch.

Teilaufgabe 2d  (3 BE)

Im Fall   t = 1 , 6   ist die erste Ableitung von   A t   an den Stellen   x 1 = 1 6   und   x 2 = 1 2   gleich Null (Nachweis nicht erforderlich).
Bestätigen Sie durch Berechnung geeigneter Werte von   A t   , dass für   t = 1 , 6   zwei Rechtecke den maximalen Flächeninhalt aufweisen.

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