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Abitur 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende würfelförmige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar   P a ( 10 | 0 | 5 ( a + 2 ) a + 1 )   mit dem Parameter  a ∈ R 0 + .
Teilaufgabe 1a  (2 BE)

Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllt die Kugel aus?

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte   Z 1   und   Z 2 , in denen die Gerade DF die Kugel schneidet.
[Zur Kontrolle:   Z 1 ( 5 + 5 3 3 | 5 − 5 3 3 | 5 + 5 3 3 )  ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt   P a   bewegt, wenn a das Intervall   [ 0 ; ∞ [   durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Um diese Verpackung attraktiver zu gestalten, werden durch Ebenen, die senkrecht zu den Raumdiagonalen des Würfels verlaufen, an allen seinen Ecken kongruente dreiseitige Pyramiden abgeschnitten.
Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfläche (Schnittfläche) und den Seitenflächen der abgeschnittenen Pyramiden?

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene   S a   in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt   P a   enthält.
[mögliches Ergebnis:   S a : x 1 − x 2 + x 3 − 15 a + 20 a + 1 = 0  ]

Im Folgenden sei   a = 4 .
Teilaufgabe 3a  (5 BE)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene   S 4   die Kugel nicht schneidet.

Teilaufgabe 3b  (5 BE)

Zeichnen Sie den Würfel, den Punkt   P 4   und die Schnittfläche der Ebene   S 4   mit dem Würfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein.

Teilaufgabe 3c  (6 BE)

Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Oberflächenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch   S 4   an der Ecke F an allen Würfelecken Pyramiden abgeschnitten werden.

Teilaufgabe 3d  (5 BE)

Die Ebene   S 4   und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen Ecken E, G und H des Würfels abschneiden, haben genau einen Punkt W gemeinsam (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von W.

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