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Abitur 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte  A ( 6 | 2 | 6 )  und  B ( 6 | 6 | 2 )  sowie die Gerade  g : x → = ( 8 0 6 ) + λ ⋅ ( − 1 1 0 ) , λ ∈ R , gegeben.
Teilaufgabe 1  (2 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt A auf der Geraden g liegt, der Punkt B jedoch nicht.

Teilaufgabe 2  (8 BE)

Die Ebene E enthält den Punkt B und die Gerade g; die Ebene H enthält ebenfalls den Punkt B, steht aber auf g senkrecht. Bestimmen Sie für die beiden Ebenen je eine Gleichung in Normalenform.
[mögliche Ergebnisse:  E : x 1 + x 2 + x 3 − 14 = 0 ; H : x 1 − x 2 = 0  ]

Teilaufgabe 3a  (6 BE)

Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt M der Geraden g mit der Ebene H die Koordinaten   ( 4 | 4 | 6 )   hat, und ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C, der sich als Bildpunkt von A bei einer Spiegelung an der Ebene H ergibt.
[Zur Kontrolle:  C ( 2 | 6 | 6 ) ]

Teilaufgabe 3b  (4 BE)

Veranschaulichen Sie anhand einer Skizze die gegenseitige Lage der Geraden g, der Punkte A, B, C und M sowie der Schnittgeraden s von E und H. Wählen Sie dazu die Ebene E als Zeichenebene.

Das Dreieck ABC ist Grundfläche einer Pyramide mit Spitze S.
Teilaufgabe 4a  (4 BE)

S liegt auf dem Lot zur Ebene E durch den Punkt B sowie auf der   x 3 -Achse. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.
[Zur Kontrolle:   S ( 0 | 0 | − 4 )   ]

Teilaufgabe 4b  (6 BE)

Bestimmen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS.

Teilaufgabe 4c  (3 BE)

Eine zweite Pyramide mit derselben Grundfläche ABC, aber anderer Spitze   S * , besitzt den gleichen Rauminhalt V. Beschreiben Sie die möglichen Lagen von   S *   in Worten (keine Rechnung nötig).

Die dreieckige Seitenfläche ACS der Pyramide wird nun so weit um die Achse g gedreht, bis der gedrehte Punkt S des Dreiecks in der Ebene E zum Liegen kommt (zwei Möglichkeiten).
Teilaufgabe 5a  (3 BE)

Begründen Sie, dass der Kreisbogen, auf dem sich S dabei bewegt, in der Ebene H liegt.

Teilaufgabe 5b  (4 BE)

Bestimmen Sie die beiden Drehwinkel.

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