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Abitur 2005 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion   f :   x ↦   ln -   1 1   +   x   mit dem maximal möglichen Definitionsbereich D. Der Graph von f wird mit   G f   bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f sowie das Verhalten von f an den Rändern von D.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Warum besitzt f eine Umkehrfunktion? Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion   f - 1   an und ermitteln Sie den Funktionsterm   f - 1 ( x )  .

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse die Graphen der Funktionen f und   f - 1   in ein Koordinatensystem. Tragen Sie dazu auch alle Asymptoten sowie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein.

Teilaufgabe 1e  (4 BE)

Der Graph   G f  , die x-Achse und die Gerade x = - 1 schließen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt ein. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks.

Es sei g eine in R differenzierbare Funktion mit dem Graphen   G g  . Die Abbildung zeigt den Graphen   G u   der in R ∖ { - 2 , 1 } definierten Funktion   u :   x   ↦   u ( x )   =   1 g ( x )  . Die x-Achse und die Geraden x = – 2 und x = 1 sind Asymptoten von   G u  .
Zur Bearbeitung der folgenden Teilaufgaben können benötigte Werte aus der Abbildung näherungsweise abgelesen werden.
Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Geben Sie die Nullstellen von g an. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von   G u   und   G g  .

Teilaufgabe 2b  (5 BE)

Begründen Sie, dass   G g   in x = - 1 und x = 0 waagrechte Tangenten hat.

Teilaufgabe 2c  (5 BE)

Zeigen Sie, dass für alle Schnittpunkte von   G u   und   G g   gilt:   g ' ( x )   =   - u ' ( x )  . Ermitteln Sie g'(-1), indem Sie u'(-1) möglichst genau aus obiger Abbildung ablesen. (Entsprechende Hilfslinien sind einzuzeichnen.)

Teilaufgabe 2d  (3 BE)

Geben Sie g(0) an. Skizzieren Sie in obige Abbildung unter Berücksichtigung der gewonnenen Ergebnisse einen möglichen Graphen   G g  .

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