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Abitur 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar
  g a :     x → "\[Rule]"   =   ( 4 2 1 )   +   λ ( a 1 a   +   2 )  
mit a, λ ∈ R gegeben. Die Punkte A(10|0|0), B(0|5|0) und C(0|0|5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis E:   x 1   +   2 x 2   +   2 x 3   - 10   =   0  ]

Teilaufgabe 1b  (3 BE)

Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden   g - 1   und der Ebene E.

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Gerade   g - 2   in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.

Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts   C *  .
[Ergebnis:   C * ( 4 | 8 | - 5 )  ]

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck   AC * BC   den Flächeninhalt 75 hat.

Teilaufgabe 2c  (6 BE)

Die Gerade   g - 2   schneidet die Strecke [AC] im Punkt A'(8|0|1) und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

In der Ebene   H :   x 3   =   3   liegen zwei parallele Schienen   s 1   und   s 2  . Die Schiene   s 1   wird durch die Gerade   s 1 :     x → "\[Rule]"   =   ( 7 1 3 )   +   τ ( 1 2 0 )   mit τ ∈ R dargestellt. Auf den Schienen   s 1   und   s 2   ruht eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(18|28|5) und dem Radius r=3.
Teilaufgabe 3a  (6 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene   s 1   berührt.
[Ergebnis: S(20|27|3)]

Teilaufgabe 3b  (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene   s 2  .

Teilaufgabe 3c  (4 BE)

Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

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