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Abitur 2005 Mathematik LK Analytische Geometrie V
Gegeben ist die Ebenenschar
  Z a :     x → "\[Rule]"   =   OD → "\[Rule]"   +   λ ( 2 - 1 - 2 )   +   τ ( a 2 a   -   4 2 )   mit D(-2|0|-2) und   λ ,   τ ,   a   ∈   R  .
Teilaufgabe 1a  (2 BE)

Alle Scharebenen haben eine Gerade gemeinsam, die mit g bezeichnet wird. Geben Sie eine Gleichung von g an.

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Zeigen Sie, dass
  Z a :     ( 4 a   -   10 ) · x 1   -   ( 2 a   +   4 ) · x 2   +   ( 5 a   -   8 ) · x 3   +   18 a   -   36   =   0  
eine weitere mögliche Gleichung für die Ebenenschar   Z a   ist.

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Berechnen Sie, für welchen Wert des Parameters a die zugehörige Scharebene senkrecht auf der Scharebene   Z 1   steht.

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Scharebene   Z 2   eine winkelhalbierende Ebene der beiden zueinander senkrechten Scharebenen   Z 1   und   Z 4   ist.

Der Punkt M(-1|1|3) ist Mittelpunkt einer Kugel mit Radius   3 3  .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt D auf dieser Kugel liegt, und berechnen Sie die Koordinaten des Kugelpunkts F, für den [FD] ein Durchmesser der Kugel ist.
[Ergebnis: F(0|2|8)]

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Kugelpunkte, die auf der Geraden g liegen.
[Ergebnis: D und H(-6|2|2)]

Teilaufgabe 2c  (6 BE)

Berechnen Sie die Längen  DH _  und  HF _  und begründen Sie, dass man die drei Punkte D, F und H zu einem Würfel ABCDEFGH wie in der Abbildung ergänzen kann.

Teilaufgabe 2d  (5 BE)

Zeigen Sie, dass das Dreieck DHF in der Ebene   Z 2   liegt. Begründen Sie ohne Rechnung nur mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, warum die Ebenen   Z 1   und   Z 4   je eine Würfelfläche enthalten.

Teilaufgabe 2e  (4 BE)

Der Eckpunkt G liegt in   Z 4   (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von G.

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