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Abitur 2005 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion   f :   x   ↦   1   -   ( ln x ) 2   mit dem Definitionsbereich   D f   =   R +  . Ihr Graph wird mit   G f   bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen von f und ermitteln Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs.

Teilaufgabe 1b  (7 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von   G f   und bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E von   G f  . Geben Sie die Wertemenge   W f   von f an.
[Teilergebnis: E(1|1)]

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Die einzige Wendestelle von f ist   x W   =   e   (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente w.
[Zur Kontrolle:   y   =   -   2 e · x   +   2  ]

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Berechnen Sie   f ( e - 2 )   und f(6). Zeichnen Sie die Wendetangente w und den Graphen   G f   unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse im Bereich   0   <   x   ≤   6  .

Die Funktion   F :   x   ↦   -   x ( ln x   -   1 ) 2   mit   D F   =   R +   ist Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich).
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von   G f   und der x-Achse im ersten Quadranten begrenzt wird.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Begründen Sie, dass die Stammfunktion F zugleich die Integralfunktion   x   ↦   ∫ e x f ( t ) dt   mit   x   ∈   R +   ist.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Berechnen Sie   lim   x   → "\[Rule]"   0 + F ( x )  . Deuten Sie dieses Ergebnis anhand des Graphen   G f   geometrisch.
(Hinweis:   lim   x   → "\[Rule]"   0 +   [ x ( ln x ) n ]   =   0    für   n   ∈   N   darf ohne Beweis verwendet werden.)

Durch zentrische Streckung von   G f   mit dem Ursprung als Zentrum und dem Streckungsfaktor 2 erhält man den Graphen   G 2   einer Funktion   f 2  .
Teilaufgabe 3a  (5 BE)

Welche Koordinaten hat bei dieser Abbildung der Bildpunkt eines beliebigen Punktes P(a | b) von   G f  ? Zeichnen Sie   G 2   und seine Wendetangente   w 2   in das Koordinatensystem von Aufgabe 1d ein.

Teilaufgabe 3b  (4 BE)

Geben Sie den Funktionsterm von   f 2   sowie ohne weitere Rechnung die Gleichung der Wendetangente   w 2   an.

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