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Abitur 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte A(0|3|0) und B(7|4|5) sowie die Gerade   h :   x → "\[Rule]"   =   ( 1 1 0 )   +   λ ( 7 1 5 )     mit   λ   ∈   R  .
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass g und h eine Ebene E aufspannen.

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:   2 x 1   +   x 2   -   3 x 3   -   3   =   0  ]

Teilaufgabe 1c  (7 BE)

C 1   und   C 2   sind zwei Punkte der Geraden h, für die die Dreiecke   ABC 1   bzw.   ABC 2   bei   C 1   bzw.   C 2   rechtwinklig sind. Bestimmen Sie die Koordinaten beider Punkte. (Der Punkt mit ganzzahligen Koordinaten wird mit   C 1   bezeichnet.)
[Zur Kontrolle:   C 1 ( 1 | 1 | 0 )  ]

Teilaufgabe 1d  (4 BE)

Tragen Sie die Geraden g und h sowie das Dreieck   ABC 1   in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze).

Teilaufgabe 1e  (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Punkt N mit dem Ortsvektor   ON → "\[Rule]"   =   1 2 ( OA → "\[Rule]"   +   OB → "\[Rule]" )   der Umkreismittelpunkt des Dreiecks   ABC 1   ist.

Das Dreieck   ABC 1   ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S; M ist der Mittelpunkt der Dreiecksseite   [ AC 1 ]  .
Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Für S gilt: Die Strecke [MS] steht senkrecht auf der   x 1 x 2  -Ebene und hat die Länge 4, die   x 3  -Koordinate von S ist positiv.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie M und die Pyramide in die Zeichnung von Teilaufgabe 1d ein.
[Zur Kontrolle: S(0,5|2|4)]

Teilaufgabe 2b  (8 BE)

Begründen Sie, dass das Dreieck   C 1 AS   achsensymmetrisch ist, und berechnen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Berechnen Sie die Höhe der Pyramide   ABC 1 S  .

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