Abitur 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

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Abitur 2004 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

In einem kartesischen Koordinatensystem des

R^{3}

sind die Punkte O(0|0|0), A(10|0|0), B(0|4|0), S(0|0|6) sowie die Ebenenschar

E_{t} : 3 x_{2} + {tx}_{3} - 3 t = 0

mit

t \in R

gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:

6 x_{1} + 15 x_{2} + 10 x_{3} - 60 = 0

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Ebene F die

x_{1} x_{2}

-Ebene schneidet.

Teilaufgabe 1c (3 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebene

E_{2}

parallel zur Geraden BS ist.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Zeigen Sie, dass die zu AO parallele Mittelparallele des Dreiecks AOS identisch ist mit der Geraden p, die alle Ebenen der Schar

E_{t}

gemeinsam haben.

Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS.

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Legen Sie ein Koordinatensystem an. Zeichnen Sie die Pyramide ABOS, die Gerade p und die Schnittfläche der Ebene

E_{2}

mit der Pyramide ein.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS.

Teilaufgabe 2c (6 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebene

E_{2}

die Pyramide ABOS in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt.
(Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.)

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Zeigen Sie, dass M(1,2|1,2|1,2) der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist.

Teilaufgabe 3b (7 BE)

Die Ebenenschar