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Abitur 2004 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II
Gegeben ist die Funktion   f :   x ↦   ( x   +   2 ) 2 x 2   mit Definitionsbereich   D f   = R\{0}. Ihr Graph wird mit   G f   bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (6 BE)

Ermitteln Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. Untersuchen Sie   G f   auf gemeinsame Punkte mit der waagerechten Asymptote.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E von   G f   ohne Verwendung der zweiten Ableitung.
[zur Kontrolle:   f ' ( x )   =   -   4 ·   x   +   2 x 3  ]

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Machen Sie ohne weitere Rechnung plausibel, dass   G f   im zweiten Quadranten einen Wendepunkt hat.

Teilaufgabe 1d  (6 BE)

Berechnen Sie f(- 0,75), f(1), f(2) und f(6).
Zeichnen Sie   G f   unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse. Berücksichtigen Sie dabei, dass der einzige Wendepunkt von   G f   der Punkt   W ( -   3 | 1 9 )   ist (Nachweis nicht erforderlich).

Teilaufgabe 1e  (9 BE)

Der Extrempunkt E und der Punkt   P ( -   1 | y p )   des Graphen   G f   legen die Strecke [EP] fest. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die diese Strecke mit   G f   einschließt.
(Hinweis: Formen Sie zur Bestimmung einer Stammfunktion von f den Funktionsterm in eine Summe um.)

Gegeben ist nun zusätzlich die Geradenschar   g a :   x ↦   ax   -   2 a   +   4   mit   x     ∈   R   ,   a   ∈   R  .
Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass alle Schargeraden durch den Punkt Q(2|4) verlaufen. Bestimmen Sie den Wert von a, für den die Gerade   g a   Tangente an   G f   im Punkt Q ist.

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Wie viele Geraden der Schar haben mit   G f   genau zwei Punkte gemeinsam? (Überlegung am Graphen genügt.)
Beschreiben Sie jeweils die Lage dieser Geraden und zeichnen Sie die Geraden in das Koordinatensystem von Aufgabe 1d ein.

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