über 180 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern
 
 
 
 
Bitte einloggen oder einmalig kostenlos registrieren, um die Lösung dieser Aufgabe betrachten zu können.
 
Wir hoffen, dass wir Dir bei Deiner Vorbereitung auf das Mathe-Abitur helfen konnten und wünschen viel Erfolg beim Abitur!

Bitte hilf uns Abiturloesung.de zu verbessern und nimm an unserer Umfrage teil.
 
Abitur 2004 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen   G f   der Funktion   f :   x   ↦   2 · e x   -   4 e x   +   4   mit dem Definitionsbereich   D f   = R.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S von   G f   mit der y-Achse. Bestimmen Sie rechnerisch das Verhalten von f für   x   →   -   ∞   und für   x   →   +   ∞  .
(Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für   x   →   +   ∞   kann z. B. zunächst im Zähler und Nenner   e x   ausgeklammert werden.)

Teilaufgabe 1b  (5 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von   G f   mit Hilfe der ersten Ableitung.
[Zur Kontrolle:   f ' ( x )   =   16 · e x ( e x   +   4 ) 2  ]

Teilaufgabe 1c  (7 BE)

W(ln4|0) ist der einzige Wendepunkt des Graphen   G f   (Nachweis nicht verlangt). Zeigen Sie, dass die Gerade n mit der Gleichung   y   =   -   x   +   ln4   durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.
Ergänzen Sie n in nebenstehender Abbildung.
Berechnen Sie den Abstand des Ursprungs von der Geraden n.

Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Begründen Sie, dass f umkehrbar ist, und geben Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion   f - 1   an.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Zeichnen Sie den Graphen   G f - 1   der Umkehrfunktion in die nebenstehende Abbildung ein.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Geben Sie jeweils ein Beispiel an für den Term
- einer Funktion g mit   D g   = R, die wie f die Nullstelle ln4 hat, aber nicht umkehrbar ist;
- einer Funktion h mit   D h   = R, die wie f die Nullstelle ln4 hat und umkehrbar ist, deren Umkehrfunktion aber in ganz R definiert ist.

Teilaufgabe 3a  (4 BE)

Zeigen Sie, dass die Funktion   F :   x ↦   4 · ln ( e x   +   4 )   - 2 x   mit    D F =   R   eine Stammfunktion von f ist.

Teilaufgabe 3b  (6 BE)

Der Schnittpunkt von   G f   und   G f - 1   hat näherungsweise die Koordinaten (-1,8 | -1,8). Kennzeichnen Sie in der Abbildung die Fläche, deren Inhalt durch   A   =   ∫ - 1 , 8 ln4 ( x   -   f ( x ) ) dx   angenähert wird.
Berechnen Sie A.

Teilaufgabe 3c  (4 BE)

Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses für A einen Näherungswert für den Inhalt des Flächenstücks, das von   G f ,   G f - 1   und der Geraden n eingeschlossen wird.

Lösung als Video:

 
Unsere Apps:
NEU:Themen-Übersicht
Themen
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
Feedback:
Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?