Abitur 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

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Abitur 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem der Punkt P(-3|0|4), die Ebene

E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 7 = 0

und die Gerade

g : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

mit

λ \in R

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der Geraden g, aber nicht in der Ebene E liegt.

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S der Geraden g mit der Ebene E.
[Ergebnis: S(-6|3|1)]

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt R(-5|-1|2) Fußpunkt des Lots von P auf die Ebene E ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

P^{'}

, den man durch Spiegelung des Punktes P an der Ebene E erhält.

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks

{SPP}^{'}

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Die Ebene

F : x_{1} - x_{3} + 7 = 0

enthält die Gerade g (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade s der beiden Ebenen E und F.
[mögliches Ergebnis:

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

]

Der Punkt M auf der Geraden s ist Mittelpunkt der Kugel K, die g in P berührt.
Die nebenstehende Skizze zeigt die gegenseitige Lage der Geraden g und s sowie der Punkte S, R, P und M.

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten von M.
[Ergebnis: M(-4,5|-3|2,5)]

Teilaufgabe 3b (4 BE)

Bestätigen Sie, dass die Ebenen E und F aufeinander senkrecht stehen, und beschreiben Sie die Lage beider Ebenen bezüglich der skizzierten Konstellation.

Teilaufgabe 3c (5 BE)

Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks SMP.

Teilaufgabe 3d (5 BE)

Es existieren zwei Wege von P nach