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Abitur 2003 Mathematik LK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3  ist die Ebene  H :     x 1 +   x 2 +   x 3   -   8   =   0  sowie die Schar von Geraden
g a :     x ⇀   =   ( a 2 0 - a 2 ) +   λ ⁢ ( 3 ⁢ a - 3 ⁢ a 8 )   ,   λ   ∈   ℝ ,   a   ∈   ℝ  gegeben.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Zeigen Sie, dass keine der Geraden  g a  parallel und keine senkrecht zur Ebene H verläuft.

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Welche dieser Geraden schneidet H unter dem größten Winkel?
Berechnen Sie diesen maximalen Winkel auf eine Dezimale genau.

Teilaufgabe 1c  (3 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S a von g a mit H.
[Zur Kontrolle:   S a ⁢ ( a 2 + 3 ⁢ a |   - 3 ⁢ a   |   8   - a 2 ) ]

Teilaufgabe 1d  (9 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt S(-2| 6| 4) derjenige Punkt aus der Schar der Schnittpunkte S a ist, der die geringste Entfernung vom Ursprung hat. Geben Sie diese Entfernung an.

Teilaufgabe 1e  (8 BE)

Die Punkte   S a  bilden in H eine Kurve. Diese wird parallel zur  x 3  -Achse in die   x 1 ⁢ x 2  -Ebene projiziert; die Projektion heißt P.
Fertigen Sie eine Zeichnung von P in der   x 1 ⁢ x 2  -Ebene an. Um welchen Kurventyp handelt es sich bei P vermutlich? Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie eine Koordinatengleichung von P aufstellen.

Ferner sind die Punkte A(1| 6| 1)  und B(-2| 9| 1)  gegeben.
Teilaufgabe 2a  (5 BE)

Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A und B zu einem regulären Sechseck ABCDEF mit dem Mittelpunkt S(-2| 6| 4) ergänzen lassen.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Ergänzungspunkte C und D.

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Das Sechseck ABCDEF rotiert nun um die Achse AD.
Beschreiben Sie das Aussehen des dabei entstehenden Rotationskörpers. Ermitteln Sie eine Gleichung der kleinsten Kugel, die den Rotationskörper enthält.
Liegt der Ursprung des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb dieses Rotationskörpers? Begründen Sie Ihre Antwort.

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