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Abitur 2003 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Gegeben ist die Funktion f : x ↦ e 1 - x 2 mit der Definitionsmenge D f = R .
Ihr Graph wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs.

Teilaufgabe 1b  (9 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes sowie die Lage der Wendepunkte von G f .

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Berechnen Sie f ( 1 ) und f ( 2 ) .
Zeichnen Sie den Graphen G f im Bereich - 2 ≤ x ≤ 2 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse (Längeneinheit 2 cm).

Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion h : x ↦ 1 f ( x ) mit D h = R . Ihr Graph wird mit G h bezeichnet.
Teilaufgabe 2a  (8 BE)

Geben Sie die Wertemenge von h an und bestimmen Sie die Schnittpunkte von G f und G h .
Zeichnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen G h im Bereich - 1 , 5 ≤ x ≤ 1 , 5 in das obige Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 2b  (4 BE)

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Graphen G f und G h eingeschlossenen Fläche näherungsweise, indem Sie den Flächeninhalt eines geeigneten Drachenvierecks berechnen. Zeichnen Sie das verwendete Drachenviereck in das oben verwendete Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 2c  (5 BE)

Bestimmen Sie für die quadratische Funktion p : x ↦ a x 2 + b x + c mit D p = R die Parameter a , b und c so, dass der Graph von p im Punkt S ( 0 | e ) seinen Scheitel hat und durch die Punkte A ( - 1 | 1 ) und B ( 1 | 1 ) verläuft.
[Ergebnis : p ( x ) = ( 1 - e ) x 2 + e ]

Teilaufgabe 2d  (6 BE)

Der Graph der quadratischen Funktion q : x ↦ ( 1 - 1 e ) x 2 + 1 e mit D q = R hat seinen Scheitel im Punkt T ( 0 | 1 e ) und verläuft durch die Punkte A ( - 1 | 1 ) und B ( 1 | 1 ) (Nachweis nicht verlangt).
Berechnen Sie nun näherungsweise den Inhalt der von den Graphen G f und G h eingeschlossenen Fläche, indem Sie die Funktionen p und q als Näherungen für die Funktionen f und h verwenden.

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