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Abitur 2003 Mathematik GK Analytische Geometrie VI
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4| -1| 4), B(6| 7| 4) und C(6| 7| 8) sowie die Ebene E : x 3 - 6 = 0 gegeben.
Teilaufgabe 1a  (4 BE)

Bestätigen Sie, dass das Dreieck ABC bei B rechtwinklig ist, und beschreiben Sie, welche besondere Lage bezüglich der x 1 ⁢ x 2 - Ebene die beiden Katheten des Dreiecks jeweils haben.

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Das Dreieck ABC kann durch einen vierten Punkt D zu einem Rechteck ergänzt werden. Berechnen Sie die Koordinaten von D und tragen Sie das Rechteck ABCD in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze).

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Begründen Sie, dass die Ebene E Symmetrieebene des Rechtecks ABCD ist.

Bei Rotation des Rechtecks ABCD um die Achse AB entsteht ein gerader Kreiszylinder als Rotationskörper.
Teilaufgabe 2a  (3 BE)

Begründen Sie, dass eine Mantellinie dieses Zylinders die x 1 ⁢ x 2 - Ebene berührt. Ergänzen Sie Ihre Zeichnung um diese Mantellinie.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Berechnen Sie den Winkel, den diese Mantellinie mit der x 1 - Achse einschließt.

Teilaufgabe 2c  (4 BE)

Bei der Rotation umkreist der Punkt C die Grundfläche G des Zylinders. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F, in der G liegt.
[mögliches Ergebnis: F : x 1 + 4 ⁢ x 2 - 34 = 0 ]

Teilaufgabe 2d  (4 BE)

Rollt man den Zylinder auf der  x 1 x 2  - Ebene, so berührt die Grundfläche G diese Ebene in Punkten einer Geraden g.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g.
[mögliches Ergebnis: g :   x ⇀   =   ( 6 7 0 )   +   λ ( -4 1 0 ) ,   λ ∈   R ]

Teilaufgabe 2e  (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Gerade g in der x 1 ⁢ x 2 - Ebene durch die Gleichung x 2 = - 1 4 ⁢ x 1 + 8 , 5 beschrieben wird, und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die g mit der x 1 - Achse und der x 2 - Achse einschließt.

Teilaufgabe 2f  (5 BE)

Die Ebene E und der Zylinder schneiden sich in einem Rechteck R. Berechnen Sie den Flächeninhalt von R.

Teilaufgabe 2g  (4 BE)

S ist der Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks R. Welche besondere Lage hat S im Rechteck ABCD? Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S und beschreiben Sie Art und Lage der Kurve, auf der sich der Punkt S bei der Rotation um die Achse AB bewegt.

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