Abitur 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

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Abitur 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \ln (\frac{4}{x} - 1)

mit dem maximalen Definitionsbereich

D_{f} =] 0; 4 [

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von

D_{f}

Teilaufgabe 1b (3 BE)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{f}

punktsymmetrisch zu Z(2|0) ist.

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie f(0,5). Zeichnen Sie

G_{f}

unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte).

f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

g (x) = 4 - \frac{4 e^{x}}{1 + e^{x}}

. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.

Teilaufgabe 1f (6 BE)

Berechnen Sie mit Hilfe der Umkehrfunktion g das Integral

\int_{0}^{2} f (x) dx

Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander. Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.