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Abitur 2002 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Das Schaubild zeigt den Graphen einer in ganz IR definierten, stetigen Funktion f und den Graphen einer Stammfunktion F von f.
Die Achsenschnittpunkte beider Graphen sowie der Berührpunkt von mit der x-Achse haben ganzzahlige Koordinaten.
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Erläutern Sie, dass das dargestellte Monotonieverhalten von sowie das dargestellte Krümmungsverhalten von in Einklang damit stehen, dass F Stammfunktion von f ist.
Teilaufgabe 1b (3 BE)
und die x-Achse umranden im 4. Quadranten ein Flächenstück. Bestimmen Sie dessen Inhalt mit Hilfe von auf eine Dezimale genau.
Es gilt: mit a, b, c ∈ IR .
Teilaufgabe 2a (6 BE)
Bestimmen Sie mit Hilfe der im Schaubild dargestellten Achsenschnittpunkte von die Werte der Parameter a, b und c .
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Teilaufgabe 2b (9 BE)
Ermitteln Sie mit Hilfe partieller Integration einen Term für F und überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe 1b.
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Teilaufgabe 2c (6 BE)
Bestimmen Sie und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
f und F (vgl. Teilaufgabe 2) gehören zur Funktionenschar
mit der Definitionsmenge IR und k ∈ IR .
mit der Definitionsmenge IR und k ∈ IR .
Teilaufgabe 3a (3 BE)
Für welchen Parameterwert k erhält man f, für welchen F? Geben Sie den gemeinsamen Punkt aller Schargraphen an.
Teilaufgabe 3b (7 BE)
f besitzt als einzige Funktion der Schar eine Stammfunktion, die ebenfalls der Schar angehört. Zeigen Sie dies, beispielsweise indem Sie für zwei verschiedene Parameterwerte und berechnen und mit vergleichen.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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